题目
(14分)如图所示,有一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的顶点P,另一端系一质量为m 的小球,小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦) .开始小球静止于点 A, 弹簧处于自然状态,其长度为圆环半径R; 当小球运动到圆环的底端点B时,小球对圆环没有压力. 求弹簧的劲度系数。
(14分)如图所示,有一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的顶点P,另一端系一质量为m 的小球,小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦) .开始小球静止于点 A, 弹簧处于自然状态,其长度为圆环半径R; 当小球运动到圆环的底端点B时,小球对圆环没有压力. 求弹簧的劲度系数。
题目解答
答案
(14分)
取点B为重力势能零点,取点A为弹性势能零点,系统机械能守恒, 
(6分)由和
解得
(3分)
(2分)上海电机学院 200_5_–200_6_学年第_二_学期
解析
步骤 1：确定小球在点A和点B的机械能
小球在点A时，弹簧处于自然状态，其弹性势能为零。小球的重力势能为$mgR$，动能为零。因此，小球在点A的机械能为$E_A = mgR$。
小球在点B时，弹簧的伸长量为$R$，其弹性势能为$\frac{1}{2}kR^2$。小球的重力势能为$-mgR$，动能为$\frac{1}{2}mv^2$。因此，小球在点B的机械能为$E_B = \frac{1}{2}kR^2 - mgR + \frac{1}{2}mv^2$。
步骤 2：应用机械能守恒定律
由于小球在运动过程中没有外力做功，因此机械能守恒。即$E_A = E_B$，即$mgR = \frac{1}{2}kR^2 - mgR + \frac{1}{2}mv^2$。
步骤 3：确定小球在点B时的运动状态
当小球运动到圆环的底端点B时，小球对圆环没有压力，说明小球在点B时的向心力完全由弹簧的弹力提供。即$mg = kR$。
步骤 4：求解弹簧的劲度系数
将$mg = kR$代入$mgR = \frac{1}{2}kR^2 - mgR + \frac{1}{2}mv^2$，得到$mgR = \frac{1}{2}mgR - mgR + \frac{1}{2}mv^2$，即$mgR = \frac{1}{2}mv^2$。因此，$v^2 = 2gR$。将$v^2 = 2gR$代入$mg = kR$，得到$k = \frac{2mg}{R}$。
小球在点A时，弹簧处于自然状态，其弹性势能为零。小球的重力势能为$mgR$，动能为零。因此，小球在点A的机械能为$E_A = mgR$。
小球在点B时，弹簧的伸长量为$R$，其弹性势能为$\frac{1}{2}kR^2$。小球的重力势能为$-mgR$，动能为$\frac{1}{2}mv^2$。因此，小球在点B的机械能为$E_B = \frac{1}{2}kR^2 - mgR + \frac{1}{2}mv^2$。
步骤 2：应用机械能守恒定律
由于小球在运动过程中没有外力做功，因此机械能守恒。即$E_A = E_B$，即$mgR = \frac{1}{2}kR^2 - mgR + \frac{1}{2}mv^2$。
步骤 3：确定小球在点B时的运动状态
当小球运动到圆环的底端点B时，小球对圆环没有压力，说明小球在点B时的向心力完全由弹簧的弹力提供。即$mg = kR$。
步骤 4：求解弹簧的劲度系数
将$mg = kR$代入$mgR = \frac{1}{2}kR^2 - mgR + \frac{1}{2}mv^2$，得到$mgR = \frac{1}{2}mgR - mgR + \frac{1}{2}mv^2$，即$mgR = \frac{1}{2}mv^2$。因此，$v^2 = 2gR$。将$v^2 = 2gR$代入$mg = kR$，得到$k = \frac{2mg}{R}$。