9.11 如题图9.7所示,一均匀带电直导线长为d,电荷线密度为 +λ. 过导线中点O作-|||-一半径为 (Rgt d/2) 的球面S,P为带电直导线的延长线与球面S的交点.求:-|||-(1)通过该球面的电场强度通量 ϕE;-|||-(2)P处电场强度的大小和方向.-|||-S-|||-R-|||-P d-|||-题图9.7

考查要点：本题主要考查高斯定理的应用以及有限长带电直导线在延长线上某点的电场强度计算。

解题思路：

1. 第（1）问：利用高斯定理计算电场通量。关键在于判断球面是否包围所有电荷。由于球面半径$R > d/2$，导线中点在球心，故整个导线被球面包围，总电荷为$\lambda d$。
2. 第（2）问：通过积分法计算有限长带电直导线在延长线上某点的电场。需对导线上各点电荷在P点产生的场强进行积分，注意积分上下限和变量替换。

第（1）题

应用高斯定理

根据高斯定理，电场通量为：
$\Phi_E = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$
其中，$Q_{\text{enc}}$为球面内的总电荷。导线总电荷为：
$Q_{\text{enc}} = \lambda d$
代入得：
$\Phi_E = \frac{\lambda d}{\varepsilon_0}$

第（2）题

建立坐标系与积分表达式

设导线沿x轴，中点O在原点，P点坐标为$(R, 0, 0)$。导线上任一点$x'$处的电荷元$\lambda dx'$在P点产生的场强为：
$dE = \frac{\lambda dx'}{4\pi \varepsilon_0 (R - x')^2}$

积分求总场强

积分范围为$x' = -d/2$到$x' = d/2$，变量替换$u = R - x'$，得：
$E = \int_{-d/2}^{d/2} \frac{\lambda dx'}{4\pi \varepsilon_0 (R - x')^2} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R - d/2} - \frac{1}{R + d/2} \right]$

化简表达式

通分后得：
$E = \frac{\lambda d}{\pi \varepsilon_0 (4R^2 - d^2)}$

方向分析

电场方向沿矢径OP，背离导线。