题目
求下列矢量场的旋度。(1). =(e)_(x)x+(e)_(y)y+(e)_(z)z(1). =(e)_(x)x+(e)_(y)y+(e)_(z)z
求下列矢量场的旋度。
题目解答
答案
根据旋度计算公式：
(1).
代入可得：
∴此矢量为无旋场。
(2).
解析
步骤 1：定义矢量场的旋度
矢量场的旋度定义为：$rotA = \nabla \times A$，其中$\nabla$是哈密顿算子，$A$是矢量场。在直角坐标系中，$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}e_x + \frac{\partial}{\partial y}e_y + \frac{\partial}{\partial z}e_z$，$A = P(x,y,z)e_x + Q(x,y,z)e_y + R(x,y,z)e_z$。旋度的计算公式为：
$rotA = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})e_x + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x})e_y + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})e_z$。
步骤 2：计算第一个矢量场的旋度
对于矢量场$A = xe_x + ye_y + ze_z$，有$P = x$，$Q = y$，$R = z$。代入旋度的计算公式，得到：
$rotA = (\frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial y}{\partial z})e_x + (\frac{\partial x}{\partial z} - \frac{\partial z}{\partial x})e_y + (\frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y})e_z = 0$。
因此，此矢量场为无旋场。
步骤 3：计算第二个矢量场的旋度
对于矢量场$A = x{y}^{2}{z}^{3}({e}_{x}+{e}_{y}+{e}_{z})$，有$P = x{y}^{2}{z}^{3}$，$Q = x{y}^{2}{z}^{3}$，$R = x{y}^{2}{z}^{3}$。代入旋度的计算公式，得到：
$rotA = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})e_x + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x})e_y + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})e_z$
$= (2xy{z}^{3} - 3x{y}^{2}{z}^{2})e_x + (3x{y}^{2}{z}^{2} - {y}^{2}{z}^{3})e_y + ({y}^{2}{z}^{3} - 2xy{z}^{3})e_z$。
矢量场的旋度定义为：$rotA = \nabla \times A$，其中$\nabla$是哈密顿算子，$A$是矢量场。在直角坐标系中，$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}e_x + \frac{\partial}{\partial y}e_y + \frac{\partial}{\partial z}e_z$，$A = P(x,y,z)e_x + Q(x,y,z)e_y + R(x,y,z)e_z$。旋度的计算公式为：
$rotA = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})e_x + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x})e_y + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})e_z$。
步骤 2：计算第一个矢量场的旋度
对于矢量场$A = xe_x + ye_y + ze_z$，有$P = x$，$Q = y$，$R = z$。代入旋度的计算公式，得到：
$rotA = (\frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial y}{\partial z})e_x + (\frac{\partial x}{\partial z} - \frac{\partial z}{\partial x})e_y + (\frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y})e_z = 0$。
因此，此矢量场为无旋场。
步骤 3：计算第二个矢量场的旋度
对于矢量场$A = x{y}^{2}{z}^{3}({e}_{x}+{e}_{y}+{e}_{z})$，有$P = x{y}^{2}{z}^{3}$，$Q = x{y}^{2}{z}^{3}$，$R = x{y}^{2}{z}^{3}$。代入旋度的计算公式，得到：
$rotA = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})e_x + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x})e_y + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})e_z$
$= (2xy{z}^{3} - 3x{y}^{2}{z}^{2})e_x + (3x{y}^{2}{z}^{2} - {y}^{2}{z}^{3})e_y + ({y}^{2}{z}^{3} - 2xy{z}^{3})e_z$。