题目
7.一链条总长为l,质量为m,放在桌面上,并使其一端下垂,下垂一端的长度为-|||-a。设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为μ,令链条由静止开始运动,则-|||-(1)到链条离开桌面的过程中,摩擦力对链条作了多少功?-|||-(2)链条离开桌面时的速度是多少?-|||-l-a-|||-ǒ
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算摩擦力的功
设某一时刻桌面上链条长为x，则摩擦力大小为 $f=\mu \dfrac {x}{l}mg$。摩擦力的功为 ${W}_{f}={\int }_{a}^{l}f(x)dx={\int }_{a}^{l}\mu \dfrac {x}{l}mgdx=\dfrac {\mu mg}{2l}{(l-a)}^{2}$。
步骤 2：计算重力的功
重力的功为 ${W}_{G}={\int }_{a}^{l}G(y)dy={\int }_{a}^{l}\dfrac {mg}{l}ydy=\dfrac {mg}{2l}({l}^{2}-{a}^{2})$。
步骤 3：应用动能定理
以链条为对象，应用质点的动能定理 $W=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}-\dfrac {1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，其中 $W={W}_{G}+{W}_{f}$，${v}_{0}=0$。将步骤1和步骤2的结果代入，得到 $\dfrac {mg}{2l}({l}^{2}-{a}^{2})-\dfrac {\mu mg}{2l}{(l-a)}^{2}=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$。
步骤 4：求解链条离开桌面时的速度
解上述方程，得到 $v=\sqrt {\dfrac {g}{2}[ ({l}^{2}-{a}^{2})-\mu {(l-a)}^{2}] }$。
设某一时刻桌面上链条长为x，则摩擦力大小为 $f=\mu \dfrac {x}{l}mg$。摩擦力的功为 ${W}_{f}={\int }_{a}^{l}f(x)dx={\int }_{a}^{l}\mu \dfrac {x}{l}mgdx=\dfrac {\mu mg}{2l}{(l-a)}^{2}$。
步骤 2：计算重力的功
重力的功为 ${W}_{G}={\int }_{a}^{l}G(y)dy={\int }_{a}^{l}\dfrac {mg}{l}ydy=\dfrac {mg}{2l}({l}^{2}-{a}^{2})$。
步骤 3：应用动能定理
以链条为对象，应用质点的动能定理 $W=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}-\dfrac {1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，其中 $W={W}_{G}+{W}_{f}$，${v}_{0}=0$。将步骤1和步骤2的结果代入，得到 $\dfrac {mg}{2l}({l}^{2}-{a}^{2})-\dfrac {\mu mg}{2l}{(l-a)}^{2}=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$。
步骤 4：求解链条离开桌面时的速度
解上述方程，得到 $v=\sqrt {\dfrac {g}{2}[ ({l}^{2}-{a}^{2})-\mu {(l-a)}^{2}] }$。