题目
质量为times (10)^-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按times (10)^-3kgtimes (10)^-3kg的规律作简谐运动，求： （1）振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； （2）最大恢复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能和势能相等？ （3）times (10)^-3kg与times (10)^-3kg两个时刻的相位差。
质量为
的小球与轻弹簧组成的系统，按
的规律作简谐运动，求：
（1）振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
（2）最大恢复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能和势能相等？
（3）
与
两个时刻的相位差。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定振动的周期、振幅和初位相
根据简谐振动的方程$x=A\cos(\omega t+\varphi_0)$，其中$A$是振幅，$\omega$是角频率，$\varphi_0$是初相位。从题目给出的方程$x=0.1\cos(8\pi t+\frac{2\pi}{3})$，可以确定振幅$A=0.1m$，角频率$\omega=8\pi rad/s$，初相位$\varphi_0=\frac{2\pi}{3}$。周期$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{4}s$。
步骤 2：计算速度与加速度的最大值
速度的最大值$|v_m|=\omega A=8\pi \times 0.1=0.8\pi m/s$。加速度的最大值$|a_m|=\omega^2 A=(8\pi)^2 \times 0.1=64\pi^2 m/s^2$。
步骤 3：计算最大恢复力、振动能量、平均动能和平均势能
最大恢复力$|F_m|=m|a_m|=10\times 10^{-3} \times 64\pi^2 N$。振动能量$E=\frac{1}{2}m|v_m|^2=\frac{1}{2}\times 10\times 10^{-3} \times (0.8\pi)^2 J$。平均动能$\overline{E_k}=\frac{1}{2}E$，平均势能$\overline{E_p}=\frac{1}{2}E$。动能和势能相等的位置$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}A$。
步骤 4：计算${t}_{2}=5s$与${t}_{1}=1s$两个时刻的相位差
相位差$\Delta\phi=\omega(t_2-t_1)=8\pi(5-1)=32\pi$。
根据简谐振动的方程$x=A\cos(\omega t+\varphi_0)$，其中$A$是振幅，$\omega$是角频率，$\varphi_0$是初相位。从题目给出的方程$x=0.1\cos(8\pi t+\frac{2\pi}{3})$，可以确定振幅$A=0.1m$，角频率$\omega=8\pi rad/s$，初相位$\varphi_0=\frac{2\pi}{3}$。周期$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{4}s$。
步骤 2：计算速度与加速度的最大值
速度的最大值$|v_m|=\omega A=8\pi \times 0.1=0.8\pi m/s$。加速度的最大值$|a_m|=\omega^2 A=(8\pi)^2 \times 0.1=64\pi^2 m/s^2$。
步骤 3：计算最大恢复力、振动能量、平均动能和平均势能
最大恢复力$|F_m|=m|a_m|=10\times 10^{-3} \times 64\pi^2 N$。振动能量$E=\frac{1}{2}m|v_m|^2=\frac{1}{2}\times 10\times 10^{-3} \times (0.8\pi)^2 J$。平均动能$\overline{E_k}=\frac{1}{2}E$，平均势能$\overline{E_p}=\frac{1}{2}E$。动能和势能相等的位置$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}A$。
步骤 4：计算${t}_{2}=5s$与${t}_{1}=1s$两个时刻的相位差
相位差$\Delta\phi=\omega(t_2-t_1)=8\pi(5-1)=32\pi$。