题目

某产品的质量受反应温度和反应时间两个因素的影响，已知温度范围为: 20 sim 100^circmathrm(C)，时间范围为: 30 sim 160mathrm(min)，试选用一种双因素优选法进行优选，并简单说明可能的优选过程。假设产品质量是温度和时间的单峰函数。

某产品的质量受反应温度和反应时间两个因素的影响，已知温度范围为: $20 \sim 100^{\circ}\mathrm{C}$，时间范围为: $30 \sim 160\mathrm{min}$，试选用一种双因素优选法进行优选，并简单说明可能的优选过程。假设产品质量是温度和时间的单峰函数。

题目解答

答案

  1. 确定初始试验点：
    温度范围 $20^\circ C$ 到 $100^\circ C$，中点为 $60^\circ C$；时间范围 $30$ 分钟到 $160$ 分钟，中点为 $95$ 分钟。初始试验点为 $(60^\circ C, 95 \text{ 分钟})$。

  2. 固定一个因素，优化另一个因素：

    • 固定温度：在 $60^\circ C$ 下，使用黄金分割法（比例 $\tau \approx 0.618$）选择时间试验点，逐步缩小时间范围。
    • 固定时间：在最优时间下，使用黄金分割法选择温度试验点，逐步缩小温度范围。

  3. 交替优化：
    重复上述过程，交替固定温度和时间，直到找到最优组合。

结论：
通过平行线法，逐步优化温度和时间，可找到使产品质量最高的最优组合。
$\boxed{\begin{array}{l}\text{初始点：}(60^\circ C, 95 \text{ 分钟}) \\\text{固定温度优化时间，固定时间优化温度，交替进行} \\\text{最终找到最优组合}\end{array}}$

解析

本题考查双因素优选法的应用，解题思路是利用平行线法对反应温度和反应时间这两个影响产品质量的因素进行优选。由于产品质量是温度和时间的单峰函数，我们可以通过逐步优化每个因素来找到最优组合。具体步骤如下：

  1. 确定初始试验点：
    • 对于温度范围$20^{\circ}C$到$100^{\circ}C$，根据中点公式$x_{mid}=\frac{x_1 + x_2}{2}$（其中$x_1 = 20^{\circ}C$，$x_2 = 100^{\circ}C$），可得中点温度为$\frac{20 + 100}{2}=60^{\circ}C$。
    • 对于时间范围$30$分钟到$160$分钟，同样根据中点公式，其中$x_1 = 30$分钟，$x_2 = 160$分钟，可得中点时间为$\frac{30 + 160}{2}=95$分钟。
    • 所以初始试验点为$(60^{\circ}C, 95$分钟$)$。
  2. 固定一个因素，优化另一个因素：
    • 固定温度优化时间：固定温度为$60^{\circ}C$，在时间范围$30$分钟到$160$分钟内使用黄金分割法（比例$\tau\approx0.618$）选择时间试验点。设时间范围为$[a,b]$，第一个试验点$x_1=a+(1 - \tau)(b - a)$，第二个试验点$x_2=a+\tau(b - a)$。比较$x_1$和$x_2$对应的产品质量，舍去质量差的那一端，逐步缩小时间范围。
    • 固定时间优化温度：在通过上述步骤得到的最优时间下，在温度范围$20^{\circ}C$到$100^{\circ}C$内使用黄金分割法选择温度试验点，同样比较试验点对应的产品质量，舍去质量差的那一端，逐步缩小温度范围。
  3. 交替优化：重复上述固定一个因素优化另一个因素的过程，交替固定温度和时间，不断缩小两个因素的范围，直到找到最优组合。