题目
真空中一沿X轴放置的长L的均匀带电细棒，总电量为Q(Q>0)。坐标原点O距细棒左端的距离a，求O处电场强度的大小和方向。
真空中一沿X轴放置的长L的均匀带电细棒，总电量为Q(Q>0)。坐标原点O距细棒左端的距离a，求O处电场强度的大小和方向。
题目解答
答案
长L的均匀带电细棒，总电量为Q，电荷线密度为
，所以一小段长度的电荷量
，所以
，解得
，由于Q大于零所以O点处电场方向向左，O点处的电场强度的大小为。
解析
步骤 1：确定电荷线密度
细棒的总电量为Q，长度为L，因此电荷线密度为$\lambda = \frac{Q}{L}$。
步骤 2：计算微元电荷产生的电场
考虑细棒上一小段长度为$dr$的微元，其电荷量为$dq = \lambda dr = \frac{Q}{L}dr$。该微元在O点产生的电场强度为$dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{L} \frac{dr}{r^2}$，其中$r$是微元到O点的距离。
步骤 3：积分求总电场
O点的总电场强度为所有微元电场的叠加，即$E = \int_{a}^{a+L} dE = \int_{a}^{a+L} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{L} \frac{dr}{r^2} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 L} \int_{a}^{a+L} \frac{dr}{r^2} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 L} \left[-\frac{1}{r}\right]_{a}^{a+L} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 L} \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+L}\right) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{a(a+L)}$。
步骤 4：确定电场方向
由于Q>0，电场方向与正电荷产生的电场方向一致，即向左。
细棒的总电量为Q，长度为L，因此电荷线密度为$\lambda = \frac{Q}{L}$。
步骤 2：计算微元电荷产生的电场
考虑细棒上一小段长度为$dr$的微元，其电荷量为$dq = \lambda dr = \frac{Q}{L}dr$。该微元在O点产生的电场强度为$dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{L} \frac{dr}{r^2}$，其中$r$是微元到O点的距离。
步骤 3：积分求总电场
O点的总电场强度为所有微元电场的叠加，即$E = \int_{a}^{a+L} dE = \int_{a}^{a+L} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{L} \frac{dr}{r^2} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 L} \int_{a}^{a+L} \frac{dr}{r^2} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 L} \left[-\frac{1}{r}\right]_{a}^{a+L} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 L} \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+L}\right) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{a(a+L)}$。
步骤 4：确定电场方向
由于Q>0，电场方向与正电荷产生的电场方向一致，即向左。