题目
5-7 一远洋货轮,质量为m,浮在水面时其水平-|||-截面积为S.设在水面附近货轮的水平截面积近似相-|||-等,设水的密度为ρ,且不计水的黏性阻力,证明货轮-|||-在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐振动,并求-|||-振动周期.
题目解答
答案
5-72 \\pi \\sqrt{m/\\rho gS}
解析
步骤 1：确定浮力和重力的关系
当货轮在水中静止时，它受到的浮力等于其重力。浮力由阿基米德原理给出，即浮力等于被排开的水的重量。因此，浮力 \( F_b = \rho g V \)，其中 \( V \) 是货轮排开水的体积。由于货轮的水平截面积为 \( S \)，排开水的体积 \( V = S \cdot h \)，其中 \( h \) 是货轮浸入水中的深度。因此，浮力 \( F_b = \rho g S h \)。重力 \( F_g = mg \)。当货轮静止时，浮力等于重力，即 \( \rho g S h = mg \)。
步骤 2：分析货轮的振动
当货轮受到一个小的垂直扰动时，它将偏离平衡位置。设货轮偏离平衡位置的距离为 \( x \)，则货轮新的浸入深度为 \( h + x \)。此时，浮力变为 \( F_b' = \rho g S (h + x) \)。由于 \( h = \frac{m}{\rho S} \)，浮力变为 \( F_b' = \rho g S \left(\frac{m}{\rho S} + x\right) = mg + \rho g S x \)。因此，浮力的增量 \( \Delta F_b = \rho g S x \)。根据牛顿第二定律，货轮的加速度 \( a = \frac{F}{m} = \frac{\Delta F_b}{m} = \frac{\rho g S x}{m} \)。这表明货轮的加速度与位移成正比，且方向相反，符合简谐振动的条件。
步骤 3：求解振动周期
简谐振动的周期 \( T \) 由公式 \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \) 给出，其中 \( k \) 是恢复力常数。在本题中，恢复力常数 \( k = \rho g S \)。因此，振动周期 \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho g S}} \)。
当货轮在水中静止时，它受到的浮力等于其重力。浮力由阿基米德原理给出，即浮力等于被排开的水的重量。因此，浮力 \( F_b = \rho g V \)，其中 \( V \) 是货轮排开水的体积。由于货轮的水平截面积为 \( S \)，排开水的体积 \( V = S \cdot h \)，其中 \( h \) 是货轮浸入水中的深度。因此，浮力 \( F_b = \rho g S h \)。重力 \( F_g = mg \)。当货轮静止时，浮力等于重力，即 \( \rho g S h = mg \)。
步骤 2：分析货轮的振动
当货轮受到一个小的垂直扰动时，它将偏离平衡位置。设货轮偏离平衡位置的距离为 \( x \)，则货轮新的浸入深度为 \( h + x \)。此时，浮力变为 \( F_b' = \rho g S (h + x) \)。由于 \( h = \frac{m}{\rho S} \)，浮力变为 \( F_b' = \rho g S \left(\frac{m}{\rho S} + x\right) = mg + \rho g S x \)。因此，浮力的增量 \( \Delta F_b = \rho g S x \)。根据牛顿第二定律，货轮的加速度 \( a = \frac{F}{m} = \frac{\Delta F_b}{m} = \frac{\rho g S x}{m} \)。这表明货轮的加速度与位移成正比，且方向相反，符合简谐振动的条件。
步骤 3：求解振动周期
简谐振动的周期 \( T \) 由公式 \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \) 给出，其中 \( k \) 是恢复力常数。在本题中，恢复力常数 \( k = \rho g S \)。因此，振动周期 \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho g S}} \)。