【题文】为了测出井口到水面的距离，让一个小石块从井口自由落下，经过2.5s后听到石块击水的声音，估算井口到水面的距离，考虑到声音在空气中传播需要一定的时间，估算结果偏大还是偏小？.

考查要点：本题主要考查自由落体运动的公式应用，以及误差分析能力。关键在于理解总时间包含石块下落时间和声音传播时间，需分开计算。

解题核心思路：

1. 正确模型：总时间 $T = t_1 + t_2$，其中 $t_1$ 是石块下落时间，$t_2$ 是声音上传时间。
2. 估算误区：若直接用总时间 $T$ 代入自由落体公式，会将 $t_2$ 错误计入下落时间，导致计算的井深偏大。

破题关键：

• 物理模型拆分：将总时间拆分为两个独立过程的时间。
• 误差来源：忽略声音传播时间 $t_2$ 时，实际下落时间 $t_1$ 被高估，进而导致井深计算值偏大。

正确解法步骤

1. 建立方程

设井深为 $h$，石块下落时间为 $t_1$，声音传播时间为 $t_2$，总时间 $T = t_1 + t_2 = 2.5 \, \text{s}$。
根据自由落体公式：
$h = \frac{1}{2} g t_1^2 \quad (g = 10 \, \text{m/s}^2)$
声音传播时间：
$t_2 = \frac{h}{v} \quad (v = 343 \, \text{m/s})$

2. 联立方程

将 $t_2 = 2.5 - t_1$ 代入 $t_2 = \frac{h}{v}$，并结合 $h = \frac{1}{2} g t_1^2$，得：
$2.5 - t_1 = \frac{\frac{1}{2} g t_1^2}{v}$
化简为：
$5 t_1^2 + 343 t_1 - 343 \times 2.5 = 0$

3. 近似求解

由于声音速度远大于重力加速度，$t_2$ 极小（通常约 $h/343$），可近似认为 $t_1 \approx 2.5 \, \text{s}$。此时井深估算为：
$h \approx \frac{1}{2} \times 10 \times 2.5^2 = 31.25 \, \text{m}$

4. 误差分析

若忽略 $t_2$，实际下落时间 $t_1 = 2.5 - t_2$ 小于 $2.5 \, \text{s}$，代入公式得真实井深 $h_{\text{真实}} = \frac{1}{2} g (2.5 - t_2)^2 < 31.25 \, \text{m}$。因此，估算值偏大。