题目

如图所示,路灯距地面高度h,身高C的人以速度_(1)=(V)_(0)+ct(为正的常数)沿X轴正向行走,t=0时_(1)=(V)_(0)+ct求人影中头顶的移动速率_(1)=(V)_(0)+ct求人影中头顶坐标_(1)=(V)_(0)+ct相对脚底坐标_(1)=(V)_(0)+ct的加速度a_(1)=(V)_(0)+ct

如图所示,路灯距地面高度h,身高C的人以速度 $V_1=V_0+ct$ (为正的常数)沿X轴正向行走,t=0时 $x_1=0$

求人影中头顶的移动速率 $V_2$

求人影中头顶坐标 $X_2$ 相对脚底坐标 $X_1$ 的加速度a

题目解答

答案

1. 头顶的移动速率 $(V_2)$

人影中头顶的移动速率 $(V_2)$ 是头顶位置 $(x_2)$ 随时间的导数。头顶的位置 $(x_2)$ 可以表示为：

$[x_2=h+C]$

这里，( h ) 是路灯的高度，( C ) 是人的身高。

人的位置 $(x_1)$ 是：

$[x_1=V_0t+\frac{1}{2}ct^2]$

头顶的位置 $(x_2)$ 的速度 $(V_2)$ 是：

$[V_2=\frac{dx_2}{dt}=\frac{d}{dt}(h+C)=0]$

因为头顶位置 $(x_2)$ 是常数，不随时间变化，所以头顶的移动速率 $(V_2)$ 是零。

2. 头顶相对脚底的加速度 ( a )

头顶相对于脚底的加速度 ( a ) 是头顶位置 $(x_2)$ 相对于脚底位置 $(x_1)$ 随时间的二阶导数。

头顶位置 $(x_2=h+C)$ 是常数，所以它的一阶导数 $( \dot{x}_2 ) 为零，即 ( V_2 = 0 )。$

脚底的位置 $(x_1)$ 是：

$[x_1=V_0t+\frac{1}{2}ct^2]$

脚底的速度 $(V_1)$ 是：

$[V_1=\frac{dx_1}{dt}=V_0+ct]$

脚底的加速度 $(a_1)$ 是：

$[a_1=\frac{dV_1}{dt}=c]$

头顶相对于脚底的加速度 ( a ) 是：

$[a=\frac{d^2(x_2-x_1)}{dt^2}]$

因为 $(x_2-x_1=(h+C)-(V_0t+\frac{1}{2}ct^2))$ ，二阶导数为：

$[a=-c]$

结论

头顶的移动速率 $(V_2=0)$ （静止）

头顶相对于脚底的加速度 $(a=-c)$

解析

考查要点：本题主要考查运动学中的相对运动问题，涉及速度和加速度的计算，需要利用导数工具分析物体运动的瞬时特性。

解题核心思路：

明确物体的位置关系：路灯、人的身高与影子顶端的位置关系，需通过几何分析建立坐标表达式。
导数的应用：通过求导计算速度（一阶导数）和加速度（二阶导数）。
相对运动分析：理解“相对加速度”的定义，即两物体位移差的二阶导数。

破题关键点：

几何关系：利用相似三角形确定影子顶端的位置表达式。
导数运算：正确对时间求导，注意速度和加速度的物理意义。

第（1）题：头顶的移动速率

建立位置关系

根据题意，路灯高度为$h$，人的身高为$C$，当人位于$x_1$时，影子顶端的位置$x_2$满足相似三角形关系：
$\frac{h}{C} = \frac{x_2}{x_2 - x_1} \implies x_2 = \frac{h}{h - C} x_1$

求速度

人的位置随时间变化为：
$x_1(t) = v_0 t + \frac{1}{2} c t^2$
代入$x_2$的表达式：
$x_2(t) = \frac{h}{h - C} \left( v_0 t + \frac{1}{2} c t^2 \right)$
对时间求导得速度：
$v_2 = \frac{dx_2}{dt} = \frac{h}{h - C} (v_0 + c t)$

第（2）题：相对加速度

相对位移

头顶与脚底的相对位移为：
$x_2 - x_1 = \frac{h}{h - C} x_1 - x_1 = \frac{h}{h - C} x_1 - x_1 = \frac{C}{h - C} x_1$

求加速度

对相对位移两次求导：

一阶导数（相对速度）：
$\frac{d}{dt}(x_2 - x_1) = \frac{C}{h - C} \cdot \frac{dx_1}{dt} = \frac{C}{h - C} (v_0 + c t)$
二阶导数（相对加速度）：
$a = \frac{d^2}{dt^2}(x_2 - x_1) = \frac{C}{h - C} \cdot c$