题目
质量为M半径为R的圆周的光滑弧形滑块,静止在光滑桌面上,今有质量为m的物体由弧形的上端A点静止滑下,求当m滑到最低点B时.(1)m相对于M的速度v, 以及M对地的速度V;(2)M对m的作用力N。
质量为M半径为R的
圆周的光滑弧形滑块,静止在光滑桌面上,今有质量为m的物体由弧形的上端A点静止滑下,求当m滑到最低点B时.
(1)m相对于M的速度$$v$$, 以及M对地的速度V;
(2)M对m的作用力N。
题目解答
答案
(1)设m对地速度为$$v_1$$, M对地速度为V.
水平方向动量守恒,$$mv_1=MV$$
机械能守恒：$$mgR={1\over 2}mv_1^2+0.5MV^2$$
则：$$v_1=\sqrt{2MgR\over M+m}$$,
$$V=\sqrt{2m^2gR\over M(M+m)}$$——这是M的对地速度
m相对于M的速度是
$$v=$$$$\sqrt{2MgR\over M+m}+\sqrt{2m^2gR\over M(M+m)}$$
(2)$$N-mg={mv_1^2\over R}$$,解得
解析
步骤 1：水平方向动量守恒
由于系统在水平方向上不受外力作用，因此水平方向动量守恒。设m对地速度为$$v_1$$, M对地速度为V。根据动量守恒定律，有：
$$mv_1 = MV$$
步骤 2：机械能守恒
物体m从A点滑到B点的过程中，只有重力做功，因此机械能守恒。设物体m在A点的势能为mgR，B点的势能为0，动能分别为0和$$\frac{1}{2}mv_1^2$$，滑块M的动能为$$\frac{1}{2}MV^2$$。根据机械能守恒定律，有：
$$mgR = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}MV^2$$
步骤 3：求解m相对于M的速度v
根据步骤1和步骤2的方程，可以解出$$v_1$$和V，进而求出m相对于M的速度v。根据动量守恒方程，有：
$$v_1 = \frac{MV}{m}$$
将$$v_1$$代入机械能守恒方程，解得：
$$V = \sqrt{\frac{2m^2gR}{M(M+m)}}$$
$$v_1 = \sqrt{\frac{2MgR}{M+m}}$$
m相对于M的速度v为：
$$v = v_1 + V = \sqrt{\frac{2MgR}{M+m}} + \sqrt{\frac{2m^2gR}{M(M+m)}}$$
步骤 4：求解M对m的作用力N
物体m在B点时，受到重力mg和滑块M对m的作用力N。根据牛顿第二定律，有：
$$N - mg = \frac{mv_1^2}{R}$$
解得：
$$N = mg + \frac{mv_1^2}{R}$$
将$$v_1$$代入上式，解得：
$$N = \frac{mg(3M+m)}{M+m}$$
由于系统在水平方向上不受外力作用，因此水平方向动量守恒。设m对地速度为$$v_1$$, M对地速度为V。根据动量守恒定律，有：
$$mv_1 = MV$$
步骤 2：机械能守恒
物体m从A点滑到B点的过程中，只有重力做功，因此机械能守恒。设物体m在A点的势能为mgR，B点的势能为0，动能分别为0和$$\frac{1}{2}mv_1^2$$，滑块M的动能为$$\frac{1}{2}MV^2$$。根据机械能守恒定律，有：
$$mgR = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}MV^2$$
步骤 3：求解m相对于M的速度v
根据步骤1和步骤2的方程，可以解出$$v_1$$和V，进而求出m相对于M的速度v。根据动量守恒方程，有：
$$v_1 = \frac{MV}{m}$$
将$$v_1$$代入机械能守恒方程，解得：
$$V = \sqrt{\frac{2m^2gR}{M(M+m)}}$$
$$v_1 = \sqrt{\frac{2MgR}{M+m}}$$
m相对于M的速度v为：
$$v = v_1 + V = \sqrt{\frac{2MgR}{M+m}} + \sqrt{\frac{2m^2gR}{M(M+m)}}$$
步骤 4：求解M对m的作用力N
物体m在B点时，受到重力mg和滑块M对m的作用力N。根据牛顿第二定律，有：
$$N - mg = \frac{mv_1^2}{R}$$
解得：
$$N = mg + \frac{mv_1^2}{R}$$
将$$v_1$$代入上式，解得：
$$N = \frac{mg(3M+m)}{M+m}$$