9.31 电量Q均匀分布在长为2l的细-|||-线上。试求:(1)在带电直线的中垂线上离带-|||-电直线中心距离为y的A点的电势U A和-|||-场强EA;(2)在带电直线的延长线上,距带-|||-电直线中心的距离为x的B点的电势U,B-|||-和场强EB(利用电势梯度求场强)。

步骤 1：确定线电荷密度
线电荷密度 $\lambda$ 可以通过总电荷量 $Q$ 除以线的长度 $2l$ 来计算，即 $\lambda = \frac{Q}{2l}$。

步骤 2：计算A点的电势 $U_A$
在带电直线的中垂线上，离带电直线中心距离为 $y$ 的A点的电势 $U_A$ 可以通过积分计算。设线段上任意一点到A点的距离为 $r$，则 $r = \sqrt{y^2 + x^2}$，其中 $x$ 是该点到直线中心的距离。电势 $U_A$ 为：
$$
U_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{-l}^{l} \frac{\lambda dx}{\sqrt{y^2 + x^2}} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \int_{-l}^{l} \frac{dx}{2l\sqrt{y^2 + x^2}}
$$
通过积分，我们得到：
$$
U_A = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \ln \left( \frac{\sqrt{y^2 + l^2} + l}{y} \right)
$$

步骤 3：计算A点的场强 $E_A$
场强 $E_A$ 可以通过电势的梯度来计算。由于电势 $U_A$ 只与 $y$ 有关，所以场强 $E_A$ 的方向沿 $y$ 轴，大小为：
$$
E_A = -\frac{\partial U_A}{\partial y} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 y \sqrt{y^2 + l^2}}
$$

步骤 4：计算B点的电势 $U_B$
在带电直线的延长线上，距带电直线中心的距离为 $x$ 的B点的电势 $U_B$ 可以通过积分计算。设线段上任意一点到B点的距离为 $r$，则 $r = |x - x'|$，其中 $x'$ 是该点到直线中心的距离。电势 $U_B$ 为：
$$
U_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{-l}^{l} \frac{\lambda dx'}{|x - x'|} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \int_{-l}^{l} \frac{dx'}{2l|x - x'|}
$$
通过积分，我们得到：
$$
U_B = \frac{Q}{8\pi \varepsilon_0} \ln \left( \frac{x + l}{x - l} \right)
$$

步骤 5：计算B点的场强 $E_B$
场强 $E_B$ 可以通过电势的梯度来计算。由于电势 $U_B$ 只与 $x$ 有关，所以场强 $E_B$ 的方向沿 $x$ 轴，大小为：
$$
E_B = -\frac{\partial U_B}{\partial x} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 (x^2 - l^2)}
$$