如图,沙漏计时器由上下两个大小相同、相互连通且底面互相平行的圆锥组成,下面的圆锥内装有细沙。计时开始时,将沙漏倒置,已知上面圆锥中细沙全部流下恰好需要 1 小时,则细沙高度下降一半所需的时间是:A. 30 分钟B. 45 分钟C. 47.5 分钟D. 52.5 分钟

考查要点：本题主要考查体积与高度的立方关系在流体力学中的应用，以及如何将实际问题转化为数学模型。

解题核心思路：

1. 体积与高度的关系：沙漏由圆锥构成，体积公式为$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$。由于圆锥形状固定，底面半径$r$与高度$h$成正比，因此体积$V$与$h^3$成正比。
2. 体积随时间线性变化：沙子流动的体积流量恒定，总体积随时间线性减少。
3. 高度随时间的立方根变化：结合体积与高度的立方关系，推导出高度随时间的函数，进而求解高度下降一半所需的时间。

破题关键点：

• 建立体积与时间的线性关系，并转化为高度与时间的函数。
• 利用立方根关系，将高度下降一半转化为时间比例。

模型假设：

1. 沙漏上下圆锥大小相同，底面平行，底面半径为$R$，高度为$H$。
2. 体积流量恒定，总体积随时间线性减少。

体积与高度的关系：
圆锥体积公式为$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$，由于$r = \frac{R}{H} h$，代入得：
$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{R}{H} h\right)^2 h = \frac{\pi R^2}{3H^2} h^3$
即$V \propto h^3$，设比例系数为$k$，则$V = k h^3$。

体积随时间变化：
总时间$T = 1$小时，初始体积$V_0 = k H^3$，体积随时间线性减少：
$V(t) = V_0 - \frac{V_0}{T} t = k H^3 \left(1 - \frac{t}{T}\right)$
同时，体积也与当前高度$h(t)$有关：
$V(t) = k h(t)^3$
联立得：
$h(t)^3 = H^3 \left(1 - \frac{t}{T}\right) \implies h(t) = H \left(1 - \frac{t}{T}\right)^{1/3}$

求高度下降一半的时间：
当$h(t) = \frac{H}{2}$时，代入公式：
$\frac{H}{2} = H \left(1 - \frac{t}{T}\right)^{1/3} \implies \left(1 - \frac{t}{T}\right)^{1/3} = \frac{1}{2}$
两边立方得：
$1 - \frac{t}{T} = \frac{1}{8} \implies \frac{t}{T} = \frac{7}{8} \implies t = \frac{7}{8} T = \frac{7}{8} \times 60 = 52.5 \text{分钟}$