题目
5-25 如图所示,刚体由长为l,质量为m的均匀-|||-细杆和一个质量为m的-|||-小球牢固连接在杆的一 bigcirc -|||-端而成,可绕过杆的另一 θ m-|||-端0点的水平轴转动. /-|||-先将杆拉至水平然后让 m-|||-它自由落下,若轴处摩擦 习题 5-25 图-|||-可以忽略.求:-|||-(1)刚体绕转轴的转动惯量;-|||-(2)当杆与竖直线成θ角时,刚体的角速度w.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算刚体绕转轴的转动惯量
刚体由一个质量为m的均匀细杆和一个质量为m的小球组成。细杆绕其一端的转动惯量为$\dfrac {1}{3}m{l}^{2}$，小球绕转轴的转动惯量为$m{l}^{2}$。因此，刚体绕转轴的转动惯量为$\dfrac {1}{3}m{l}^{2}+m{l}^{2}=\dfrac {4}{3}m{l}^{2}$。
步骤 2：计算当杆与竖直线成θ角时，刚体的角速度
当杆与竖直线成θ角时，刚体的重力势能转化为动能。重力势能的减少量为$mg\left(l-\dfrac {l}{2}\cos \theta \right)$，动能的增加量为$\dfrac {1}{2}I{\omega }^{2}$，其中I为刚体绕转轴的转动惯量，ω为刚体的角速度。根据能量守恒定律，有$mg\left(l-\dfrac {l}{2}\cos \theta \right)=\dfrac {1}{2}I{\omega }^{2}$。将I代入上式，得到$\omega =\sqrt {\dfrac {3g\left(1-\dfrac {1}{2}\cos \theta \right)}{2l}}=\dfrac {3}{2}\sqrt {\dfrac {g\cos \theta }{l}}$。
刚体由一个质量为m的均匀细杆和一个质量为m的小球组成。细杆绕其一端的转动惯量为$\dfrac {1}{3}m{l}^{2}$，小球绕转轴的转动惯量为$m{l}^{2}$。因此，刚体绕转轴的转动惯量为$\dfrac {1}{3}m{l}^{2}+m{l}^{2}=\dfrac {4}{3}m{l}^{2}$。
步骤 2：计算当杆与竖直线成θ角时，刚体的角速度
当杆与竖直线成θ角时，刚体的重力势能转化为动能。重力势能的减少量为$mg\left(l-\dfrac {l}{2}\cos \theta \right)$，动能的增加量为$\dfrac {1}{2}I{\omega }^{2}$，其中I为刚体绕转轴的转动惯量，ω为刚体的角速度。根据能量守恒定律，有$mg\left(l-\dfrac {l}{2}\cos \theta \right)=\dfrac {1}{2}I{\omega }^{2}$。将I代入上式，得到$\omega =\sqrt {\dfrac {3g\left(1-\dfrac {1}{2}\cos \theta \right)}{2l}}=\dfrac {3}{2}\sqrt {\dfrac {g\cos \theta }{l}}$。