题目
1-26 一子弹以速度v0水平射入沙土中,设子-|||-弹所受阻力与速度方向相反,且忽略子弹的重力,则-|||-子弹的加速度 =-dfrac (k)(m)v. 求:-|||-(1)子弹射入沙土后的速度 v=v(t) ;-|||-(2)子弹射入沙土的最大深度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定加速度与速度的关系
根据题目条件，子弹的加速度 $a=-\dfrac {k}{m}v$，其中 $k$ 是阻力系数，$m$ 是子弹的质量，$v$ 是子弹的速度。这表明加速度与速度成正比，且方向相反。
步骤 2：建立速度与时间的关系
由牛顿第二定律 $F=ma$，可以得到 $-kv=m\dfrac {dv}{dt}$，其中 $F=-kv$ 是阻力，$a=\dfrac {dv}{dt}$ 是加速度。将加速度的表达式代入，得到 $-kv=m\dfrac {dv}{dt}$，即 $\dfrac {dv}{v}=-\dfrac {k}{m}dt$。对两边积分，得到 $\int_{v_0}^{v}\dfrac {dv}{v}=-\dfrac {k}{m}\int_{0}^{t}dt$，即 $\ln v-\ln v_0=-\dfrac {k}{m}t$，从而得到 $v=v_0e^{-\dfrac {k}{m}t}$。
步骤 3：确定子弹射入沙土的最大深度
由速度与时间的关系 $v=\dfrac {dx}{dt}=v_0e^{-\dfrac {k}{m}t}$，可以得到 $dx=v_0e^{-\dfrac {k}{m}t}dt$。对两边积分，得到 $\int_{0}^{x}dx=\int_{0}^{t}v_0e^{-\dfrac {k}{m}t}dt$，即 $x=\dfrac {m{v}_{0}}{k}(1-e^{-\dfrac {k}{m}t})$。当 $t\rightarrow \infty$ 时，$x\rightarrow \dfrac {m{v}_{0}}{k}$，即子弹射入沙土的最大深度为 $\dfrac {m{v}_{0}}{k}$。
根据题目条件，子弹的加速度 $a=-\dfrac {k}{m}v$，其中 $k$ 是阻力系数，$m$ 是子弹的质量，$v$ 是子弹的速度。这表明加速度与速度成正比，且方向相反。
步骤 2：建立速度与时间的关系
由牛顿第二定律 $F=ma$，可以得到 $-kv=m\dfrac {dv}{dt}$，其中 $F=-kv$ 是阻力，$a=\dfrac {dv}{dt}$ 是加速度。将加速度的表达式代入，得到 $-kv=m\dfrac {dv}{dt}$，即 $\dfrac {dv}{v}=-\dfrac {k}{m}dt$。对两边积分，得到 $\int_{v_0}^{v}\dfrac {dv}{v}=-\dfrac {k}{m}\int_{0}^{t}dt$，即 $\ln v-\ln v_0=-\dfrac {k}{m}t$，从而得到 $v=v_0e^{-\dfrac {k}{m}t}$。
步骤 3：确定子弹射入沙土的最大深度
由速度与时间的关系 $v=\dfrac {dx}{dt}=v_0e^{-\dfrac {k}{m}t}$，可以得到 $dx=v_0e^{-\dfrac {k}{m}t}dt$。对两边积分，得到 $\int_{0}^{x}dx=\int_{0}^{t}v_0e^{-\dfrac {k}{m}t}dt$，即 $x=\dfrac {m{v}_{0}}{k}(1-e^{-\dfrac {k}{m}t})$。当 $t\rightarrow \infty$ 时，$x\rightarrow \dfrac {m{v}_{0}}{k}$，即子弹射入沙土的最大深度为 $\dfrac {m{v}_{0}}{k}$。