题目
13-7 如图所示,有两根相距为l的平行导线,其一端用电阻R连接,导-|||-线上一质量为m的金属棒无摩擦地滑过,有一均匀磁场B与图面垂直。假设-|||-在 t=0 瞬时金属棒以v0的速度向左方滑动,请回答下列问题:(1)棒的运动-|||-速度与时间的函数关系;(2)棒的移动距离与时间的函数关系;(3)能量守恒-|||-定律是否成立?请证明。-|||-B B-|||-R-|||-习题 13-7 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定金属棒的运动方程
金属棒在磁场中运动时，会产生感应电动势，进而产生感应电流。根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为 $E=Blv$，其中 $B$ 是磁场强度，$l$ 是导线间距，$v$ 是金属棒的速度。根据欧姆定律，感应电流为 $I=E/R=Blv/R$。根据安培力公式，金属棒受到的安培力为 $F=BIl=(Blv/R)Bl=Bl^2v/R$。根据牛顿第二定律，金属棒的加速度为 $a=F/m=(Bl^2v/R)/m=Bl^2v/(mR)$。因此，金属棒的运动方程为 $dv/dt=-Bl^2v/(mR)$，其中负号表示安培力与速度方向相反。
步骤 2：求解金属棒的速度与时间的函数关系
将金属棒的运动方程 $dv/dt=-Bl^2v/(mR)$ 重写为 $dv/v=-Bl^2/(mR)dt$，然后对两边积分，得到 $\ln v=-Bl^2t/(mR)+C$，其中 $C$ 是积分常数。在 $t=0$ 时，$v=v_0$，代入上式得到 $C=\ln v_0$。因此，金属棒的速度与时间的函数关系为 $v=v_0e^{-Bl^2t/(mR)}$。
步骤 3：求解金属棒的移动距离与时间的函数关系
金属棒的移动距离为 $x=\int_0^t v(t)dt=\int_0^t v_0e^{-Bl^2t/(mR)}dt$。将 $v_0e^{-Bl^2t/(mR)}$ 代入上式，得到 $x=v_0\int_0^t e^{-Bl^2t/(mR)}dt$。令 $u=Bl^2t/(mR)$，则 $du=Bl^2/(mR)dt$，代入上式得到 $x=v_0\int_0^{Bl^2t/(mR)} e^{-u}du/mR$。根据积分公式 $\int_0^a e^{-u}du=1-e^{-a}$，得到 $x=v_0(1-e^{-Bl^2t/(mR)})mR/Bl^2$。
步骤 4：验证能量守恒定律
金属棒的初始动能为 $E_k=mv_0^2/2$。金属棒的最终动能为 $E_k'=mv^2/2=m(v_0e^{-Bl^2t/(mR)})^2/2=mv_0^2e^{-2Bl^2t/(mR)}/2$。金属棒的电能为 $E_e=I^2Rt=(Blv/R)^2Rt=B^2l^2v^2t/(mR)=B^2l^2v_0^2e^{-2Bl^2t/(mR)}t/(mR)$。因此，金属棒的总能量为 $E=E_k+E_e=mv_0^2/2+B^2l^2v_0^2e^{-2Bl^2t/(mR)}t/(mR)$。由于 $E_k'$ 和 $E_e$ 都是 $E_k$ 的一部分，因此能量守恒定律成立。
金属棒在磁场中运动时，会产生感应电动势，进而产生感应电流。根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为 $E=Blv$，其中 $B$ 是磁场强度，$l$ 是导线间距，$v$ 是金属棒的速度。根据欧姆定律，感应电流为 $I=E/R=Blv/R$。根据安培力公式，金属棒受到的安培力为 $F=BIl=(Blv/R)Bl=Bl^2v/R$。根据牛顿第二定律，金属棒的加速度为 $a=F/m=(Bl^2v/R)/m=Bl^2v/(mR)$。因此，金属棒的运动方程为 $dv/dt=-Bl^2v/(mR)$，其中负号表示安培力与速度方向相反。
步骤 2：求解金属棒的速度与时间的函数关系
将金属棒的运动方程 $dv/dt=-Bl^2v/(mR)$ 重写为 $dv/v=-Bl^2/(mR)dt$，然后对两边积分，得到 $\ln v=-Bl^2t/(mR)+C$，其中 $C$ 是积分常数。在 $t=0$ 时，$v=v_0$，代入上式得到 $C=\ln v_0$。因此，金属棒的速度与时间的函数关系为 $v=v_0e^{-Bl^2t/(mR)}$。
步骤 3：求解金属棒的移动距离与时间的函数关系
金属棒的移动距离为 $x=\int_0^t v(t)dt=\int_0^t v_0e^{-Bl^2t/(mR)}dt$。将 $v_0e^{-Bl^2t/(mR)}$ 代入上式，得到 $x=v_0\int_0^t e^{-Bl^2t/(mR)}dt$。令 $u=Bl^2t/(mR)$，则 $du=Bl^2/(mR)dt$，代入上式得到 $x=v_0\int_0^{Bl^2t/(mR)} e^{-u}du/mR$。根据积分公式 $\int_0^a e^{-u}du=1-e^{-a}$，得到 $x=v_0(1-e^{-Bl^2t/(mR)})mR/Bl^2$。
步骤 4：验证能量守恒定律
金属棒的初始动能为 $E_k=mv_0^2/2$。金属棒的最终动能为 $E_k'=mv^2/2=m(v_0e^{-Bl^2t/(mR)})^2/2=mv_0^2e^{-2Bl^2t/(mR)}/2$。金属棒的电能为 $E_e=I^2Rt=(Blv/R)^2Rt=B^2l^2v^2t/(mR)=B^2l^2v_0^2e^{-2Bl^2t/(mR)}t/(mR)$。因此，金属棒的总能量为 $E=E_k+E_e=mv_0^2/2+B^2l^2v_0^2e^{-2Bl^2t/(mR)}t/(mR)$。由于 $E_k'$ 和 $E_e$ 都是 $E_k$ 的一部分，因此能量守恒定律成立。