题目
3.[单选题]设C为 =(e)^itheta (theta )^-dfrac (pi {2)}=dfrac (pi )(2) 的一段,则-|||-(int )_(c)^1|=|dz= ()-|||-A) i-|||-B -21-|||-C -1-|||-D 2i
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解题目
题目中给出的 $z={e}^{10}\theta {M}^{-\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\pi }{2}$ 实际上是复数 $z$ 的极坐标表示，其中 $e^{i\theta}$ 表示复数的模为1，幅角为 $\theta$。题目要求计算积分 ${\int }_{c}^{1}|=|dz$，其中 $c$ 是从 $-\dfrac {\pi }{2}$ 到 $\dfrac {\pi }{2}$ 的一段弧。
步骤 2：计算积分
由于 $z = e^{i\theta}$，则 $dz = ie^{i\theta}d\theta$。因此，积分 ${\int }_{c}^{1}|=|dz$ 可以写为 ${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}|ie^{i\theta}|d\theta$。由于 $|ie^{i\theta}| = |i||e^{i\theta}| = 1$，所以积分简化为 ${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta$。
步骤 3：计算结果
${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta = \theta |_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}} = \dfrac {\pi }{2} - (-\dfrac {\pi }{2}) = \pi$。但是，由于题目中给出的选项都是复数，而计算结果是实数，因此需要重新审视题目。题目中的 $z={e}^{10}\theta {M}^{-\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\pi }{2}$ 可能是笔误，正确的应该是 $z=e^{i\theta}$，因此积分 ${\int }_{c}^{1}|=|dz$ 应该是 ${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}ie^{i\theta}d\theta$，计算结果为 $i$。
题目中给出的 $z={e}^{10}\theta {M}^{-\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\pi }{2}$ 实际上是复数 $z$ 的极坐标表示，其中 $e^{i\theta}$ 表示复数的模为1，幅角为 $\theta$。题目要求计算积分 ${\int }_{c}^{1}|=|dz$，其中 $c$ 是从 $-\dfrac {\pi }{2}$ 到 $\dfrac {\pi }{2}$ 的一段弧。
步骤 2：计算积分
由于 $z = e^{i\theta}$，则 $dz = ie^{i\theta}d\theta$。因此，积分 ${\int }_{c}^{1}|=|dz$ 可以写为 ${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}|ie^{i\theta}|d\theta$。由于 $|ie^{i\theta}| = |i||e^{i\theta}| = 1$，所以积分简化为 ${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta$。
步骤 3：计算结果
${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta = \theta |_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}} = \dfrac {\pi }{2} - (-\dfrac {\pi }{2}) = \pi$。但是，由于题目中给出的选项都是复数，而计算结果是实数，因此需要重新审视题目。题目中的 $z={e}^{10}\theta {M}^{-\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\pi }{2}$ 可能是笔误，正确的应该是 $z=e^{i\theta}$，因此积分 ${\int }_{c}^{1}|=|dz$ 应该是 ${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}ie^{i\theta}d\theta$，计算结果为 $i$。