题目
【题目】-|||-质点所受外力 =((y)^2-(x)^2)i+3xyj, 求质点由点(0,0)运-|||-动到点(2,4)的过程中力F所做的功:-|||-(1)先沿x轴由点(0,0)运动到点(2,0),再平行y轴由点(2,0)-|||-运动到点(2,4).-|||-(2)沿连接(0,0),(2,4)两点的直线.-|||-(3)沿抛物线 =(x)^2 由点(0,0)到点(2,4).(单位为国际单位-|||-制)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算沿x轴由点(0,0)运动到点(2,0)的功
在x轴上，y=0，因此外力 $F=({y}^{2}-{x}^{2})i+3xyj$ 变为 $F=-{x}^{2}i$。质点沿x轴运动，因此位移 $d\vec{r}=dx\vec{i}$。力F所做的功为 $W=\int_{0}^{2}F\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2}-x^{2}dx$。
步骤 2：计算沿y轴由点(2,0)运动到点(2,4)的功
在y轴上，x=2，因此外力 $F=({y}^{2}-{x}^{2})i+3xyj$ 变为 $F=(y^{2}-4)i+6yj$。质点沿y轴运动，因此位移 $d\vec{r}=dy\vec{j}$。力F所做的功为 $W=\int_{0}^{4}F\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{4}6ydy$。
步骤 3：计算沿直线由点(0,0)运动到点(2,4)的功
直线方程为 $y=2x$，因此外力 $F=({y}^{2}-{x}^{2})i+3xyj$ 变为 $F=(4x^{2}-x^{2})i+6x^{2}j$。质点沿直线运动，因此位移 $d\vec{r}=dx\vec{i}+dy\vec{j}$。力F所做的功为 $W=\int_{0}^{2}F\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2}(3x^{2}dx+6x^{2}dy)$。
步骤 4：计算沿抛物线由点(0,0)运动到点(2,4)的功
抛物线方程为 $y=x^{2}$，因此外力 $F=({y}^{2}-{x}^{2})i+3xyj$ 变为 $F=(x^{4}-x^{2})i+3x^{3}j$。质点沿抛物线运动，因此位移 $d\vec{r}=dx\vec{i}+dy\vec{j}$。力F所做的功为 $W=\int_{0}^{2}F\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2}(x^{4}-x^{2})dx+3x^{3}dy$。
在x轴上，y=0，因此外力 $F=({y}^{2}-{x}^{2})i+3xyj$ 变为 $F=-{x}^{2}i$。质点沿x轴运动，因此位移 $d\vec{r}=dx\vec{i}$。力F所做的功为 $W=\int_{0}^{2}F\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2}-x^{2}dx$。
步骤 2：计算沿y轴由点(2,0)运动到点(2,4)的功
在y轴上，x=2，因此外力 $F=({y}^{2}-{x}^{2})i+3xyj$ 变为 $F=(y^{2}-4)i+6yj$。质点沿y轴运动，因此位移 $d\vec{r}=dy\vec{j}$。力F所做的功为 $W=\int_{0}^{4}F\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{4}6ydy$。
步骤 3：计算沿直线由点(0,0)运动到点(2,4)的功
直线方程为 $y=2x$，因此外力 $F=({y}^{2}-{x}^{2})i+3xyj$ 变为 $F=(4x^{2}-x^{2})i+6x^{2}j$。质点沿直线运动，因此位移 $d\vec{r}=dx\vec{i}+dy\vec{j}$。力F所做的功为 $W=\int_{0}^{2}F\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2}(3x^{2}dx+6x^{2}dy)$。
步骤 4：计算沿抛物线由点(0,0)运动到点(2,4)的功
抛物线方程为 $y=x^{2}$，因此外力 $F=({y}^{2}-{x}^{2})i+3xyj$ 变为 $F=(x^{4}-x^{2})i+3x^{3}j$。质点沿抛物线运动，因此位移 $d\vec{r}=dx\vec{i}+dy\vec{j}$。力F所做的功为 $W=\int_{0}^{2}F\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2}(x^{4}-x^{2})dx+3x^{3}dy$。