题目
9.8 如图9.42所示,一均匀带电直导线长为d,电荷线密度为 +lambda . 过导线中点O作一-|||-半径为 (Rgt d/2) 的球面S,P为带电直导线的延长线与球面S的交点.求:(1)通过该球面-|||-的电场强度通量ϕ ;(2)P处电场强度的大小和方向.-|||-R-|||-0-|||-d-|||-图9.42 习题9.8图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算通过球面的电场强度通量
根据高斯定理，通过闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面内包含的总电荷量除以真空介电常数 ${\varepsilon }_{0}$。对于本题，闭合曲面为球面S，球面内包含的总电荷量为直导线上的电荷量，即 $\lambda d$。因此，通过球面的电场强度通量为 ${\varphi }_{R}=\dfrac {\lambda d}{{\varepsilon }_{0}}$。
步骤 2：计算P点电场强度的大小和方向
P点位于直导线的延长线上，因此P点的电场强度方向沿直导线方向，即从O点指向P点。P点的电场强度大小可以通过将直导线视为无限长导线的近似来计算。对于无限长均匀带电直导线，其电场强度大小为 $E=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}r}$，其中r为P点到直导线的距离。对于本题，r为 $R-\dfrac {d}{2}$。因此，P点的电场强度大小为 $E=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}(R-\dfrac {d}{2})}$。然而，由于P点位于直导线的延长线上，因此需要考虑直导线的有限长度对电场强度的影响。通过积分计算，可以得到P点的电场强度大小为 $E=\dfrac {\lambda d}{\pi {\varepsilon }_{0}(4{R}^{2}-{d}^{2})}$。
根据高斯定理，通过闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面内包含的总电荷量除以真空介电常数 ${\varepsilon }_{0}$。对于本题，闭合曲面为球面S，球面内包含的总电荷量为直导线上的电荷量，即 $\lambda d$。因此，通过球面的电场强度通量为 ${\varphi }_{R}=\dfrac {\lambda d}{{\varepsilon }_{0}}$。
步骤 2：计算P点电场强度的大小和方向
P点位于直导线的延长线上，因此P点的电场强度方向沿直导线方向，即从O点指向P点。P点的电场强度大小可以通过将直导线视为无限长导线的近似来计算。对于无限长均匀带电直导线，其电场强度大小为 $E=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}r}$，其中r为P点到直导线的距离。对于本题，r为 $R-\dfrac {d}{2}$。因此，P点的电场强度大小为 $E=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}(R-\dfrac {d}{2})}$。然而，由于P点位于直导线的延长线上，因此需要考虑直导线的有限长度对电场强度的影响。通过积分计算，可以得到P点的电场强度大小为 $E=\dfrac {\lambda d}{\pi {\varepsilon }_{0}(4{R}^{2}-{d}^{2})}$。