由楼窗口以水平初速度0c射出一发子弹，取枪口为原点，沿0c方向为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时刻t为0，试求：（1）子弹在任一时刻的位置坐标及轨迹方程；（2）子弹在t时刻的速度、切向加速度和法向加速度。

考查要点：本题主要考查平抛运动的运动学规律，包括坐标表达、轨迹方程、速度及加速度的分解。

解题核心思路：

1. 平抛运动的分解：将运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2. 轨迹方程：通过消去时间参数，建立$x$与$y$的关系。
3. 速度与加速度：利用导数求速度，结合切向加速度（速度大小变化率）和法向加速度（速度方向变化率）的公式进行计算。

破题关键点：

• 坐标系设定：明确$x$轴为水平方向，$y$轴为竖直向下方向。
• 运动独立性：水平方向速度恒定，竖直方向加速度为$g$。
• 加速度分解：总加速度为竖直方向的重力加速度，需分解为切向和法向分量。

第（1）题

水平方向运动

水平方向初速度为$v_0$，无加速度，故位移为：
$x = v_0 t$

竖直方向运动

竖直方向初速度为$0$，加速度为$g$，故位移为：
$y = \frac{1}{2} g t^2$

轨迹方程

消去时间$t$，由$x = v_0 t$得$t = \frac{x}{v_0}$，代入$y$的表达式：
$y = \frac{1}{2} g \left( \frac{x}{v_0} \right)^2 = \frac{g}{2 v_0^2} x^2$

结论：
位置坐标为$(v_0 t, \frac{1}{2} g t^2)$，轨迹方程为抛物线$y = \frac{g}{2 v_0^2} x^2$。

第（2）题

速度矢量

对运动方程$\vec{r} = v_0 t \hat{i} + \frac{1}{2} g t^2 \hat{j}$求导：
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = v_0 \hat{i} + g t \hat{j}$

切向加速度

速度大小为$v = \sqrt{v_0^2 + (g t)^2}$，其时间导数为：
$a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{g^2 t}{\sqrt{v_0^2 + (g t)^2}}$

法向加速度

法向加速度公式为$a_n = \frac{v^2}{r}$，其中曲率半径$r$可通过轨迹方程计算，最终化简得：
$a_n = \frac{g v_0}{\sqrt{v_0^2 + (g t)^2}}$

关键点：

• 切向加速度由速度大小的变化引起，法向加速度由速度方向的变化引起。
• 法向加速度的正确表达式需通过曲率半径或向量分解推导，原答案中的表达式存在错误。