题目
由楼窗口以水平初速度0c射出一发子弹，取枪口为原点，沿0c方向为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时刻t为0，试求：（1）子弹在任一时刻的位置坐标及轨迹方程；（2）子弹在t时刻的速度、切向加速度和法向加速度。
由楼窗口以水平初速度
射出一发子弹，取枪口为原点，沿方向为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时刻t为0，试求：
（1）子弹在任一时刻的位置坐标及轨迹方程；
（2）子弹在t时刻的速度、切向加速度和法向加速度。
题目解答
答案
(1)对于x方向，子弹做匀速直线运动，
对于y方向，子弹做匀加速直线运动，
子弹的位置坐标为
将x、y联立得
(2)由（1）可得，子弹的运动方程
由
得，子弹的速度方程
子弹的切向加速度
子弹的法向加速度
解析
步骤 1：确定子弹在x方向的运动方程
子弹在x方向做匀速直线运动，其速度为初速度$v_0$，因此，子弹在x方向的位移$x$与时间$t$的关系为$x = v_0t$。
步骤 2：确定子弹在y方向的运动方程
子弹在y方向做自由落体运动，其加速度为重力加速度$g$，因此，子弹在y方向的位移$y$与时间$t$的关系为$y = \frac{1}{2}gt^2$。
步骤 3：确定子弹的轨迹方程
将步骤1和步骤2中的$x$和$y$的表达式联立，消去时间$t$，得到子弹的轨迹方程$y = \frac{1}{2}g(\frac{x}{v_0})^2$。
步骤 4：确定子弹在t时刻的速度
子弹的速度由x方向和y方向的速度分量组成，x方向的速度分量为$v_x = v_0$，y方向的速度分量为$v_y = gt$，因此，子弹的速度为$\overrightarrow{v} = v_0\overrightarrow{i} + gt\overrightarrow{j}$。
步骤 5：确定子弹在t时刻的切向加速度
子弹的切向加速度为速度的导数，即$a_t = \frac{d|\overrightarrow{v}|}{dt} = \frac{d\sqrt{v_0^2 + (gt)^2}}{dt} = \frac{g^2t}{\sqrt{v_0^2 + (gt)^2}}$。
步骤 6：确定子弹在t时刻的法向加速度
子弹的法向加速度为$\frac{v^2}{r}$，其中$v$为速度的大小，$r$为曲率半径。由于子弹的轨迹为抛物线，其曲率半径$r$为$\frac{(1 + (\frac{dy}{dx})^2)^{3/2}}{|\frac{d^2y}{dx^2}|}$，代入$y = \frac{1}{2}g(\frac{x}{v_0})^2$，得到$r = \frac{(1 + (\frac{g^2t^2}{v_0^2})^2)^{3/2}}{|\frac{g}{v_0^2}|}$，因此，子弹的法向加速度为$a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{(v_0^2 + (gt)^2)}{\frac{(1 + (\frac{g^2t^2}{v_0^2})^2)^{3/2}}{|\frac{g}{v_0^2}|}}$。
子弹在x方向做匀速直线运动，其速度为初速度$v_0$，因此，子弹在x方向的位移$x$与时间$t$的关系为$x = v_0t$。
步骤 2：确定子弹在y方向的运动方程
子弹在y方向做自由落体运动，其加速度为重力加速度$g$，因此，子弹在y方向的位移$y$与时间$t$的关系为$y = \frac{1}{2}gt^2$。
步骤 3：确定子弹的轨迹方程
将步骤1和步骤2中的$x$和$y$的表达式联立，消去时间$t$，得到子弹的轨迹方程$y = \frac{1}{2}g(\frac{x}{v_0})^2$。
步骤 4：确定子弹在t时刻的速度
子弹的速度由x方向和y方向的速度分量组成，x方向的速度分量为$v_x = v_0$，y方向的速度分量为$v_y = gt$，因此，子弹的速度为$\overrightarrow{v} = v_0\overrightarrow{i} + gt\overrightarrow{j}$。
步骤 5：确定子弹在t时刻的切向加速度
子弹的切向加速度为速度的导数，即$a_t = \frac{d|\overrightarrow{v}|}{dt} = \frac{d\sqrt{v_0^2 + (gt)^2}}{dt} = \frac{g^2t}{\sqrt{v_0^2 + (gt)^2}}$。
步骤 6：确定子弹在t时刻的法向加速度
子弹的法向加速度为$\frac{v^2}{r}$，其中$v$为速度的大小，$r$为曲率半径。由于子弹的轨迹为抛物线，其曲率半径$r$为$\frac{(1 + (\frac{dy}{dx})^2)^{3/2}}{|\frac{d^2y}{dx^2}|}$，代入$y = \frac{1}{2}g(\frac{x}{v_0})^2$，得到$r = \frac{(1 + (\frac{g^2t^2}{v_0^2})^2)^{3/2}}{|\frac{g}{v_0^2}|}$，因此，子弹的法向加速度为$a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{(v_0^2 + (gt)^2)}{\frac{(1 + (\frac{g^2t^2}{v_0^2})^2)^{3/2}}{|\frac{g}{v_0^2}|}}$。