题目
如图9-1(a)所示，一无限长半径为R的1/3圆筒形金属薄片中，自下而上均匀地通有电流I，试求其轴线上一点P处的磁感应强度B。https:/img.zuoyebang.cc/zyb_37e5add692b7c566a3594109a8ad7888.jpg-6 固-|||-(B)-|||-d
如图9-1(a)所示，一无限长半径为R的1/3圆筒形金属薄片中，自下而上均匀地通有电流I，试求其轴线上一点P处的磁感应强度B。
题目解答
答案
参考答案：
解析
步骤 1：确定电流元
将无限长半径为R的1/3圆筒形金属薄片看作由许多沿轴线方向的长直载流直导线组成。在金属薄片上，截取宽度为dl的元段，将其视为无限长直导线，其中通过的元电流为dI。由于电流I均匀分布在1/3圆筒形金属薄片上，因此元电流dI与元段宽度dl成正比，即 $dI=\dfrac {3I}{2\pi R}dl$。
步骤 2：计算元电流产生的磁感应强度
根据毕奥-萨伐尔定律，无限长直载流导线在P点产生的磁感应强度的大小为 $dB=\dfrac {kodl}{2\pi R}$，其中k为磁常数。将dI代入，得到 $dB=\dfrac {3{k}_{0}1}{4{\pi }^{2}{R}^{2}}dl=\dfrac {3{k}_{0}I}{4{\pi }^{2}R}d\theta$，其中dθ为元段在圆周上的角度变化量。
步骤 3：分解磁感应强度并求和
在选定的坐标系中，将dB分解成两个分量dBx和dBy。从图9-1(b)可知，$d{B}_{x}=dB\sin \theta =\dfrac {3\mu ol}{4{\pi }^{2}{R}^{2}}\sin \theta d\theta$，$d{B}_{y}=dB\cos \theta =\dfrac {3\mu ol}{4{\pi }^{2}{R}^{2}}\cos \theta d\theta$。对各分量进行积分，得到 $B_{x}=\int d{B}_{x}=\dfrac {3{\mu }_{0}{T}^{\dfrac {2}{3}\pi }{\sin }^{\dfrac {2}{3}\pi }\sin \theta d\theta =\dfrac {9\mu ol}{8{\pi }^{2}R}$，$B_{y}={\int }_{d}{B}_{y}=\dfrac {-3\mu o{\int }_{0}^{\dfrac {2}{3}\pi }}{4{\pi }^{2}{R}_{0}}\cos \theta d\theta =-\dfrac {3\sqrt {3}kv}{8{\pi }^{2}R}$。
步骤 4：计算总磁感应强度
P点磁感应强度的大小为 $B=\sqrt {{{B}_{x}}^{2}+{{B}_{y}}^{2}}=\dfrac {3\sqrt {3}{y}_{0}I}{4{\pi }^{2}R}$，方向为(与x轴夹角) $\lg \alpha =\dfrac {{B}_{y}}{{B}_{x}}=-\dfrac {\sqrt {3}}{3}$，$\alpha =-\dfrac {\pi }{6}$。
将无限长半径为R的1/3圆筒形金属薄片看作由许多沿轴线方向的长直载流直导线组成。在金属薄片上，截取宽度为dl的元段，将其视为无限长直导线，其中通过的元电流为dI。由于电流I均匀分布在1/3圆筒形金属薄片上，因此元电流dI与元段宽度dl成正比，即 $dI=\dfrac {3I}{2\pi R}dl$。
步骤 2：计算元电流产生的磁感应强度
根据毕奥-萨伐尔定律，无限长直载流导线在P点产生的磁感应强度的大小为 $dB=\dfrac {kodl}{2\pi R}$，其中k为磁常数。将dI代入，得到 $dB=\dfrac {3{k}_{0}1}{4{\pi }^{2}{R}^{2}}dl=\dfrac {3{k}_{0}I}{4{\pi }^{2}R}d\theta$，其中dθ为元段在圆周上的角度变化量。
步骤 3：分解磁感应强度并求和
在选定的坐标系中，将dB分解成两个分量dBx和dBy。从图9-1(b)可知，$d{B}_{x}=dB\sin \theta =\dfrac {3\mu ol}{4{\pi }^{2}{R}^{2}}\sin \theta d\theta$，$d{B}_{y}=dB\cos \theta =\dfrac {3\mu ol}{4{\pi }^{2}{R}^{2}}\cos \theta d\theta$。对各分量进行积分，得到 $B_{x}=\int d{B}_{x}=\dfrac {3{\mu }_{0}{T}^{\dfrac {2}{3}\pi }{\sin }^{\dfrac {2}{3}\pi }\sin \theta d\theta =\dfrac {9\mu ol}{8{\pi }^{2}R}$，$B_{y}={\int }_{d}{B}_{y}=\dfrac {-3\mu o{\int }_{0}^{\dfrac {2}{3}\pi }}{4{\pi }^{2}{R}_{0}}\cos \theta d\theta =-\dfrac {3\sqrt {3}kv}{8{\pi }^{2}R}$。
步骤 4：计算总磁感应强度
P点磁感应强度的大小为 $B=\sqrt {{{B}_{x}}^{2}+{{B}_{y}}^{2}}=\dfrac {3\sqrt {3}{y}_{0}I}{4{\pi }^{2}R}$，方向为(与x轴夹角) $\lg \alpha =\dfrac {{B}_{y}}{{B}_{x}}=-\dfrac {\sqrt {3}}{3}$，$\alpha =-\dfrac {\pi }{6}$。