题目
6.有一个弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动,其运动方程为-|||-.(t)=(A)_(0)cos (sqrt (dfrac {k)(M)}+varphi )-|||-式中,k、M分别为弹簧的劲度系数和振子的质量。在振子运动过程中,一滴贾一-|||-油竖直地落在振子上,与其完全粘在一起。在下列两种情况下:-|||-(1)在M的速度为0的瞬时,油落在振子上;-|||-(2)在M的速度最大的瞬时,油落在振子上。-|||-求系统新的角频率和新振幅。
题目解答
答案
解析见答案
解:(1)由振子的角频率与振幅可求出振动的周期为:T=2π/ω=2π√(m/k)设振子的速度为0时,振子正经过平衡位置向x轴负向运动,此时油滴落在振子上,则由动量守恒定律,有mv=2mv’,可得v’=v/2,又知振子的新的振幅为A’,则有kA2=kA’2,可得A’=A/2=0.5A,由振动的周期公式T=2π√(m/k)可知,新的振动周期为T’=2π√(m+m/2/k)=2π√(3m/2k)新的角频率为:ω’=2π/T’=2π√(2k/3m)(2)由题意可知,振子的速度为最大时,振子正经过x轴正向最大位移处,油滴落在振子上,同理可知,此时振子的新的振幅为A’=A/2=0.5A,新的振动周期为T’=2π√(3m/2k),新的角频率为:ω’=2π/T’=2π√(2k/3m)
解:(1)由振子的角频率与振幅可求出振动的周期为:T=2π/ω=2π√(m/k)设振子的速度为0时,振子正经过平衡位置向x轴负向运动,此时油滴落在振子上,则由动量守恒定律,有mv=2mv’,可得v’=v/2,又知振子的新的振幅为A’,则有kA2=kA’2,可得A’=A/2=0.5A,由振动的周期公式T=2π√(m/k)可知,新的振动周期为T’=2π√(m+m/2/k)=2π√(3m/2k)新的角频率为:ω’=2π/T’=2π√(2k/3m)(2)由题意可知,振子的速度为最大时,振子正经过x轴正向最大位移处,油滴落在振子上,同理可知,此时振子的新的振幅为A’=A/2=0.5A,新的振动周期为T’=2π√(3m/2k),新的角频率为:ω’=2π/T’=2π√(2k/3m)
解析
步骤 1：确定初始条件
在简谐运动中，弹簧振子的运动方程为 $x(t) = A_0 \cos(\sqrt{\frac{k}{M}}t + \varphi)$，其中 $A_0$ 是振幅，$k$ 是弹簧的劲度系数，$M$ 是振子的质量，$\varphi$ 是初相位。角频率 $\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}$。
步骤 2：分析第一种情况
在M的速度为0的瞬时，油滴落在振子上。此时，振子位于平衡位置，即 $x = 0$。根据动量守恒定律，油滴与振子粘在一起后，新的质量为 $M + m$，新的角频率为 $\omega' = \sqrt{\frac{k}{M + m}}$。由于油滴落在振子上时，振子的速度为0，所以新的振幅为 $A' = \frac{A_0}{2}$。
步骤 3：分析第二种情况
在M的速度最大的瞬时，油滴落在振子上。此时，振子位于最大位移处，即 $x = A_0$。根据动量守恒定律，油滴与振子粘在一起后，新的质量为 $M + m$，新的角频率为 $\omega' = \sqrt{\frac{k}{M + m}}$。由于油滴落在振子上时，振子的速度最大，所以新的振幅为 $A' = \frac{A_0}{2}$。
在简谐运动中，弹簧振子的运动方程为 $x(t) = A_0 \cos(\sqrt{\frac{k}{M}}t + \varphi)$，其中 $A_0$ 是振幅，$k$ 是弹簧的劲度系数，$M$ 是振子的质量，$\varphi$ 是初相位。角频率 $\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}$。
步骤 2：分析第一种情况
在M的速度为0的瞬时，油滴落在振子上。此时，振子位于平衡位置，即 $x = 0$。根据动量守恒定律，油滴与振子粘在一起后，新的质量为 $M + m$，新的角频率为 $\omega' = \sqrt{\frac{k}{M + m}}$。由于油滴落在振子上时，振子的速度为0，所以新的振幅为 $A' = \frac{A_0}{2}$。
步骤 3：分析第二种情况
在M的速度最大的瞬时，油滴落在振子上。此时，振子位于最大位移处，即 $x = A_0$。根据动量守恒定律，油滴与振子粘在一起后，新的质量为 $M + m$，新的角频率为 $\omega' = \sqrt{\frac{k}{M + m}}$。由于油滴落在振子上时，振子的速度最大，所以新的振幅为 $A' = \frac{A_0}{2}$。