一个直圆柱形状的量杯中放有一根长为12cm的细搅棒（搅棒直径不计），当搅棒的下端接触量杯下底时，上端最少可露出杯口边缘2cm，最多能露出4cm，则这个量杯的容积为（）cm3． A.72π B.96π C.288π D.384π

考查要点：本题主要考查直圆柱容积的计算，结合几何体的空间想象能力，利用勾股定理建立方程求解。

解题核心思路：

1. 竖直状态：当搅棒竖直放置时，露出量杯的高度最多（4cm），此时量杯高度 $h = 12\text{cm} - 4\text{cm} = 8\text{cm}$。
2. 倾斜状态：当搅棒倾斜至刚好接触杯口边缘时，露出高度最少（2cm），此时搅棒在量杯内的长度为 $12\text{cm} - 2\text{cm} = 10\text{cm}$，形成直角三角形，利用勾股定理求量杯直径。
3. 容积计算：结合求得的 $h$ 和直径 $d$，计算直圆柱容积。

破题关键点：

• 竖直状态确定量杯高度
• 倾斜状态建立勾股定理方程求直径

步骤1：确定量杯高度

当搅棒竖直放置时，上端最多露出4cm，此时量杯高度为：
$h = 12\text{cm} - 4\text{cm} = 8\text{cm}$

步骤2：建立勾股定理方程

当搅棒倾斜至刚好接触杯口边缘时，上端最少露出2cm，此时搅棒在量杯内的长度为：
$12\text{cm} - 2\text{cm} = 10\text{cm}$
此时搅棒、量杯高度和直径构成直角三角形，满足：
$h^2 + d^2 = 10^2$
代入 $h = 8\text{cm}$：
$8^2 + d^2 = 100 \implies d^2 = 36 \implies d = 6\text{cm}$
因此，量杯直径为 $6\text{cm}$，半径 $r = 3\text{cm}$。

步骤3：计算容积

直圆柱容积公式为：
$V = \pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \text{ cm}^3$