题目
7-24 将一根带电导线弯成半径为R的圆环,电荷线密度为 lambda (lambda gt 0), 圆-|||-环绕过圆心且与圆环面垂直的轴以角速度w转动,求轴线上任一点的磁感强度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定圆环的等效圆电流
带电圆环以角速度 $\omega$ 转动，其等效圆电流 $i$ 可以通过电荷线密度 $\lambda$ 和圆环的周长 $2\pi R$ 来计算。圆环的转动周期 $T$ 为 $2\pi/\omega$，因此等效圆电流 $i$ 为：
$$i = \frac{2\pi R \lambda}{T} = \frac{2\pi R \lambda}{2\pi/\omega} = R\lambda \omega$$
步骤 2：计算轴线上任一点的磁感强度
根据毕奥-萨伐尔定律，圆环在轴线上任一点激发的磁感强度 $B$ 可以通过以下公式计算：
$$B = \frac{\mu_0 R^2 i}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$$
其中，$\mu_0$ 是真空磁导率，$R$ 是圆环的半径，$i$ 是等效圆电流，$x$ 是轴线上任一点到圆环中心的距离。
步骤 3：代入等效圆电流计算磁感强度
将等效圆电流 $i = R\lambda \omega$ 代入磁感强度公式，得到轴线上任一点的磁感强度 $B$ 为：
$$B = \frac{\mu_0 R^2 (R\lambda \omega)}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 R^3 \lambda \omega}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$$
带电圆环以角速度 $\omega$ 转动，其等效圆电流 $i$ 可以通过电荷线密度 $\lambda$ 和圆环的周长 $2\pi R$ 来计算。圆环的转动周期 $T$ 为 $2\pi/\omega$，因此等效圆电流 $i$ 为：
$$i = \frac{2\pi R \lambda}{T} = \frac{2\pi R \lambda}{2\pi/\omega} = R\lambda \omega$$
步骤 2：计算轴线上任一点的磁感强度
根据毕奥-萨伐尔定律，圆环在轴线上任一点激发的磁感强度 $B$ 可以通过以下公式计算：
$$B = \frac{\mu_0 R^2 i}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$$
其中，$\mu_0$ 是真空磁导率，$R$ 是圆环的半径，$i$ 是等效圆电流，$x$ 是轴线上任一点到圆环中心的距离。
步骤 3：代入等效圆电流计算磁感强度
将等效圆电流 $i = R\lambda \omega$ 代入磁感强度公式，得到轴线上任一点的磁感强度 $B$ 为：
$$B = \frac{\mu_0 R^2 (R\lambda \omega)}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 R^3 \lambda \omega}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$$