题目
气缸内有双原子分子理想气体,若经准静态绝热压缩使其容积减半,问气体分子的平均速率变为原来的平均速率的几倍？
气缸内有双原子分子理想气体,若经准静态绝热压缩使其容积减半,问气体分子的平均速率变为原来的平均速率的几倍？
题目解答
答案
理论背景
理想气体状态方程:
[
PV = nRT
]
绝热过程: 在绝热过程中，有以下关系：
其中，
（对于双原子气体）。
初始和最终状态
设初始状态下的温度为
则经过绝热压缩后，体积减半
根据绝热关系：
将
可以消去 
计算温度变化
将
计算平均速率
气体分子的平均速率与温度的平方根成正比：
因此，平均速率的变化为：
结论
气体分子的平均速率变为原来的
倍。
解析
步骤 1：确定绝热过程中的温度变化
在绝热过程中，对于双原子分子理想气体，有绝热方程 $PV^{\gamma} = \text{常数}$，其中 $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5}{3}$。由于体积减半，即 $V_2 = \frac{V_1}{2}$，我们可以利用绝热方程来确定温度的变化。根据理想气体状态方程 $PV = nRT$，可以得到 $T_1V_1^{\gamma-1} = T_2V_2^{\gamma-1}$。将 $V_2 = \frac{V_1}{2}$ 代入，得到 $T_1V_1^{\gamma-1} = T_2(\frac{V_1}{2})^{\gamma-1}$，从而 $T_2 = T_1 \cdot 2^{\gamma-1}$。将 $\gamma = \frac{5}{3}$ 代入，得到 $T_2 = T_1 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$。
步骤 2：计算平均速率的变化
气体分子的平均速率与温度的平方根成正比，即 $v \propto \sqrt{T}$。因此，平均速率的变化为 $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{2^{\frac{2}{3}}} = 2^{\frac{1}{3}}$。
在绝热过程中，对于双原子分子理想气体，有绝热方程 $PV^{\gamma} = \text{常数}$，其中 $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5}{3}$。由于体积减半，即 $V_2 = \frac{V_1}{2}$，我们可以利用绝热方程来确定温度的变化。根据理想气体状态方程 $PV = nRT$，可以得到 $T_1V_1^{\gamma-1} = T_2V_2^{\gamma-1}$。将 $V_2 = \frac{V_1}{2}$ 代入，得到 $T_1V_1^{\gamma-1} = T_2(\frac{V_1}{2})^{\gamma-1}$，从而 $T_2 = T_1 \cdot 2^{\gamma-1}$。将 $\gamma = \frac{5}{3}$ 代入，得到 $T_2 = T_1 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$。
步骤 2：计算平均速率的变化
气体分子的平均速率与温度的平方根成正比，即 $v \propto \sqrt{T}$。因此，平均速率的变化为 $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{2^{\frac{2}{3}}} = 2^{\frac{1}{3}}$。