题目
10-15 图示为平面简谐波在 t=0 时刻的波形图,设此简谐波的频率为250 Hz,且此时-|||-图中点P的运动方向向上.求:(1)该波的波动方程;(2)在距原点7.5m处质点的运动方程-|||-与 t=0 刻时该点的振动速度.-|||-y/m4-|||-0.10-|||-0.05 P-|||-0 10.0m x/m-|||--0.05-|||--0.10-|||-习题 10-15 图-|||-u=0.08m·s-|||-y/m-|||-P-|||-0 0.20 0.40 0.60 x/m-|||--0.04-|||-习题 10-16 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波的参数
根据题目，波的频率为250Hz，因此波的角频率$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 250 = 500\pi \text{ rad/s}$。波长$\lambda$可以通过波形图确定，从图中可以看出波长为0.04m。因此，波速$u = \lambda f = 0.04 \times 250 = 10 \text{ m/s}$。
步骤 2：确定波动方程
波动方程的一般形式为$y = A\cos(\omega t - kx + \phi)$，其中$A$是振幅，$\omega$是角频率，$k$是波数，$\phi$是初相位。从图中可以看出，振幅$A = 0.10 \text{ m}$。波数$k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{0.04} = 50\pi \text{ rad/m}$。由于点P的运动方向向上，说明在$t=0$时，$y$的导数为正，因此初相位$\phi$需要根据波形图确定。从图中可以看出，$x=0$时，$y=0.05 \text{ m}$，因此$\phi = \dfrac{\pi}{3}$。因此，波动方程为$y = 0.10\cos(500\pi t - 50\pi x + \dfrac{\pi}{3})$。
步骤 3：确定质点的运动方程
在距原点7.5m处，$x=7.5 \text{ m}$，因此质点的运动方程为$y = 0.10\cos(500\pi t - 50\pi \times 7.5 + \dfrac{\pi}{3}) = 0.10\cos(500\pi t - 375\pi + \dfrac{\pi}{3}) = 0.10\cos(500\pi t + \dfrac{13\pi}{12})$。
步骤 4：确定t=0时的振动速度
振动速度$v = \dfrac{dy}{dt} = -0.10 \times 500\pi \sin(500\pi t + \dfrac{13\pi}{12})$。在$t=0$时，$v = -0.10 \times 500\pi \sin(\dfrac{13\pi}{12}) = 40.6 \text{ m/s}$。
根据题目，波的频率为250Hz，因此波的角频率$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 250 = 500\pi \text{ rad/s}$。波长$\lambda$可以通过波形图确定，从图中可以看出波长为0.04m。因此，波速$u = \lambda f = 0.04 \times 250 = 10 \text{ m/s}$。
步骤 2：确定波动方程
波动方程的一般形式为$y = A\cos(\omega t - kx + \phi)$，其中$A$是振幅，$\omega$是角频率，$k$是波数，$\phi$是初相位。从图中可以看出，振幅$A = 0.10 \text{ m}$。波数$k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{0.04} = 50\pi \text{ rad/m}$。由于点P的运动方向向上，说明在$t=0$时，$y$的导数为正，因此初相位$\phi$需要根据波形图确定。从图中可以看出，$x=0$时，$y=0.05 \text{ m}$，因此$\phi = \dfrac{\pi}{3}$。因此，波动方程为$y = 0.10\cos(500\pi t - 50\pi x + \dfrac{\pi}{3})$。
步骤 3：确定质点的运动方程
在距原点7.5m处，$x=7.5 \text{ m}$，因此质点的运动方程为$y = 0.10\cos(500\pi t - 50\pi \times 7.5 + \dfrac{\pi}{3}) = 0.10\cos(500\pi t - 375\pi + \dfrac{\pi}{3}) = 0.10\cos(500\pi t + \dfrac{13\pi}{12})$。
步骤 4：确定t=0时的振动速度
振动速度$v = \dfrac{dy}{dt} = -0.10 \times 500\pi \sin(500\pi t + \dfrac{13\pi}{12})$。在$t=0$时，$v = -0.10 \times 500\pi \sin(\dfrac{13\pi}{12}) = 40.6 \text{ m/s}$。