三、计算、问答-|||-1.有一质量为m的物体悬挂在一根轻绳的一端,绳的另一端绕在一轮轴的轴上,如图所示.-|||-轴水平且垂直于轮轴面,其半径为r,整个装置架在光滑的水平固定轴承之上,绳子不易伸-|||-长且与轴之间无相对滑动.当物体由静止释放后,在时间t内下降了一段距离s,试求整个-|||-轮轴的转动惯量J (用m、r、t和s表示).-|||-2r-|||-∠4∠4-|||-m mv0 M v m m

步骤 1：确定物体的运动方程
物体在重力作用下沿绳子下降，设物体的加速度为a，根据牛顿第二定律，有：
\[ mg - T = ma \]
其中，\( T \) 是绳子对物体的拉力，\( g \) 是重力加速度。

步骤 2：确定轮轴的转动方程
轮轴受到绳子的拉力 \( T \) 作用，产生角加速度 \( \alpha \)，根据转动定律，有：
\[ Tr = J\alpha \]
其中，\( J \) 是轮轴的转动惯量，\( r \) 是轮轴的半径，\( \alpha \) 是轮轴的角加速度。

步骤 3：联立运动方程和转动方程
由于绳子不易伸长且与轴之间无相对滑动，物体的加速度 \( a \) 与轮轴的角加速度 \( \alpha \) 有关系：
\[ a = r\alpha \]
将 \( a = r\alpha \) 代入物体的运动方程，得到：
\[ mg - T = mr\alpha \]
将 \( T = J\alpha / r \) 代入上式，得到：
\[ mg - \frac{J\alpha}{r} = mr\alpha \]
整理得到：
\[ mg = \left( m + \frac{J}{r^2} \right) r\alpha \]
\[ \alpha = \frac{mg}{\left( m + \frac{J}{r^2} \right) r} \]

步骤 4：求解物体的位移
物体在时间 \( t \) 内下降的距离 \( s \) 可以用运动学公式表示：
\[ s = \frac{1}{2} a t^2 \]
将 \( a = r\alpha \) 代入上式，得到：
\[ s = \frac{1}{2} r\alpha t^2 \]
将 \( \alpha \) 的表达式代入上式，得到：
\[ s = \frac{1}{2} r \left( \frac{mg}{\left( m + \frac{J}{r^2} \right) r} \right) t^2 \]
\[ s = \frac{1}{2} \frac{mg}{m + \frac{J}{r^2}} t^2 \]
整理得到：
\[ J = \left( \frac{g t^2}{2 s} - 1 \right) m r^2 \]