9-8 若简谐振动方程为 =0.10cos (20pi t+dfrac (pi )(4)), 式中x的单位为m,t的单位为s,求:-|||-(1)振幅、频率、角频率、周期和初相;(2) t=2s 时的位移、速度和加速度.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查简谐振动的基本参数提取及运动学量的计算，涉及振幅、频率、角频率、周期、初相的识别，以及位移、速度、加速度的求解。
解题核心思路：
- 标准方程对比：将题目给出的方程与简谐振动的标准形式 $x = A\cos(\omega t + \phi)$ 对比，直接读取振幅、角频率、初相。
- 公式转换：利用 $\omega = 2\pi f$ 和 $T = \frac{1}{f}$ 计算频率和周期。
- 导数法求运动学量：通过位移对时间求导得到速度，速度对时间求导得到加速度，注意符号和单位。
破题关键点：
- 识别标准形式参数：明确方程中各项对应物理量。
- 周期性简化：利用三角函数的周期性简化相位计算。
- 导数运算准确性：正确应用导数公式并处理符号。
第（1）题
振幅
方程形式为 $x = 0.10\cos(20\pi t + \frac{\pi}{4})$，对比标准形式 $x = A\cos(\omega t + \phi)$，振幅 $A = 0.10\,\text{m}$。
角频率
由 $\omega = 20\pi\,\text{rad/s}$。
频率
根据 $\omega = 2\pi f$，得 $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20\pi}{2\pi} = 10\,\text{Hz}$。
周期
周期 $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{10} = 0.10\,\text{s}$。
初相
初相 $\phi = \frac{\pi}{4}$。
第（2）题
位移
将 $t = 2\,\text{s}$ 代入方程：
$x = 0.10\cos\left(20\pi \cdot 2 + \frac{\pi}{4}\right) = 0.10\cos\left(40\pi + \frac{\pi}{4}\right).$
由于 $\cos(40\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$，得：
$x = 0.10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7.07 \times 10^{-2}\,\text{m}.$
速度
速度为位移对时间的导数：
$v = -A\omega \sin(\omega t + \phi) = -0.10 \cdot 20\pi \sin\left(40\pi + \frac{\pi}{4}\right).$
$\sin(40\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$，代入得：
$v = -0.10 \cdot 20\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -4.44\,\text{m/s}.$
加速度
加速度为速度对时间的导数：
$a = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi) = -0.10 \cdot (20\pi)^2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right).$
$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$，代入得：
$a = -0.10 \cdot 400\pi^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -279\,\text{m/s}^2.$