题目

一长度L的带电细棒,P点距离棒左端为a,电荷分布的线密度lambda =((a-x))^3,则P点电场强度大小为:lambda =((a-x))^3A lambda =((a-x))^3B lambda =((a-x))^3C lambda =((a-x))^3D lambda =((a-x))^3

一长度L的带电细棒,P点距离棒左端为a,电荷分布的线密度 $\lambda=(a-x)^3$ ,则P点电场强度大小为:

A $\frac{\sqrt{L}}{4\pi\varepsilon_0}$

B $\frac{a^3-(a-L)^3}{12\pi\varepsilon_0}$

C $\frac{L}{4\pi\varepsilon_0}(a-\frac{L}{2})$

D $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{a}{a-L}$

题目解答

答案

在棒上取一小段长度为 dx ，其位置坐标为 x ，则这一小段带电量为 $dq=\lambda dx=(a-x)^3dx$

在 P 点产生的电场强度为 $dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{(a-x)^2}$

$E=\int_0^L\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(a-x)^3dx}{(a-x)^2}$

$=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^L(a-x)dx$

$=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[ax-\frac{x^2}{2}\right]_0^L$

$=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(aL-\frac{L^2}{2}\right)$

$=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}L\left(a-\frac{L}{2}\right)$

答案：C.

解析

步骤 1：确定微元电荷
在棒上取一小段长度为 dx，其位置坐标为 x，则这一小段带电量为$dg=\lambda dx={(a-x)}^{3}dx$。
步骤 2：计算微元电荷在P点产生的电场强度
在 P 点产生的电场强度为$dE=\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {dq}{{(a-x)}^{2}}$。
步骤 3：积分求总电场强度
$E={\int }_{0}^{L}\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {{(a-x)}^{3}dx}{{(a-x)}^{2}}$
$=\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}{\int }_{0}^{L}(a-x)dx$
$=\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}{[ ax-\dfrac {{x}^{2}}{2}] }^{L}_{0}$
$=\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}(aL-\dfrac {{L}^{2}}{2})$
$=\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}L(a-\dfrac {L}{2})$