题目
1.质量为m的一桶水悬于绕在辘轳上的轻绳的下端,辘轳可视为一质量为m1的圆柱体.-|||-桶从井口由静止释放,求桶下落过程中绳的张力.辘轳绕轴转动时的转动惯量为 dfrac (1)(2)(m)_(1)(R)^2, 其中-|||-R为辘轳的半径.轴上摩擦忽略不计.
题目解答
答案
解析
步骤 1：对桶进行牛顿第二定律分析
桶受到重力mg和绳子的张力T的作用，根据牛顿第二定律，有：
$$ mg - T = ma $$
其中，a是桶下落的加速度。
步骤 2：对辘轳进行刚体定轴转动定律分析
绳子的张力T对辘轳产生力矩，根据刚体定轴转动定律，有：
$$ TR = J\beta $$
其中，J是辘轳的转动惯量，$\beta$是辘轳的角加速度。由于辘轳的转动惯量为$\dfrac {1}{2}{m}_{1}{R}^{2}$，所以有：
$$ TR = \dfrac {1}{2}{m}_{1}{R}^{2}\beta $$
由于桶的加速度a和辘轳的角加速度$\beta$之间有关系$a = R\beta$，所以可以将上式改写为：
$$ TR = \dfrac {1}{2}{m}_{1}{R}^{2}\dfrac {a}{R} $$
$$ TR = \dfrac {1}{2}{m}_{1}Ra $$
步骤 3：联立求解
将步骤1和步骤2中的方程联立求解，可以得到绳子的张力T：
$$ mg - T = ma $$
$$ TR = \dfrac {1}{2}{m}_{1}Ra $$
将第二个方程中的a用第一个方程中的a表示，得到：
$$ T = \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {mg - T}{m} $$
$$ T = \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {mg}{m} - \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {T}{m} $$
$$ T + \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {T}{m} = \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {mg}{m} $$
$$ T(1 + \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {1}{m}) = \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {mg}{m} $$
$$ T = \dfrac {\dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {mg}{m}}{1 + \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {1}{m}} $$
$$ T = \dfrac {m_{1}mg}{2m + m_{1}} $$
桶受到重力mg和绳子的张力T的作用，根据牛顿第二定律，有：
$$ mg - T = ma $$
其中，a是桶下落的加速度。
步骤 2：对辘轳进行刚体定轴转动定律分析
绳子的张力T对辘轳产生力矩，根据刚体定轴转动定律，有：
$$ TR = J\beta $$
其中，J是辘轳的转动惯量，$\beta$是辘轳的角加速度。由于辘轳的转动惯量为$\dfrac {1}{2}{m}_{1}{R}^{2}$，所以有：
$$ TR = \dfrac {1}{2}{m}_{1}{R}^{2}\beta $$
由于桶的加速度a和辘轳的角加速度$\beta$之间有关系$a = R\beta$，所以可以将上式改写为：
$$ TR = \dfrac {1}{2}{m}_{1}{R}^{2}\dfrac {a}{R} $$
$$ TR = \dfrac {1}{2}{m}_{1}Ra $$
步骤 3：联立求解
将步骤1和步骤2中的方程联立求解，可以得到绳子的张力T：
$$ mg - T = ma $$
$$ TR = \dfrac {1}{2}{m}_{1}Ra $$
将第二个方程中的a用第一个方程中的a表示，得到：
$$ T = \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {mg - T}{m} $$
$$ T = \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {mg}{m} - \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {T}{m} $$
$$ T + \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {T}{m} = \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {mg}{m} $$
$$ T(1 + \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {1}{m}) = \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {mg}{m} $$
$$ T = \dfrac {\dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {mg}{m}}{1 + \dfrac {1}{2}{m}_{1}R\dfrac {1}{m}} $$
$$ T = \dfrac {m_{1}mg}{2m + m_{1}} $$