1.质量为m的一桶水悬于绕在辘轳上的轻绳的下端,辘轳可视为一质量为m1的圆柱体.-|||-桶从井口由静止释放,求桶下落过程中绳的张力.辘轳绕轴转动时的转动惯量为 dfrac (1)(2)(m)_(1)(R)^2, 其中-|||-R为辘轳的半径.轴上摩擦忽略不计.

考查要点：本题主要考查牛顿运动定律与刚体转动定律的综合应用，涉及绳连物体的动力学问题。

解题核心思路：

1. 隔离法分别对水桶和辘轳进行受力分析，建立运动方程。
2. 联立水桶的平移运动方程与辘轳的转动方程，解出绳的张力。
3. 关键点在于正确处理角加速度与线加速度的关系（$\alpha = \frac{a}{R}$），并利用转动惯量公式。

破题关键：

• 水桶的加速度$a$与辘轳的角加速度$\alpha$通过绳子的约束关系关联。
• 张力$T$是两物体的动力学桥梁，需通过联立方程消去$a$。

对水桶应用牛顿第二定律

水桶受重力$mg$和绳的张力$T$，沿竖直方向运动：
$mg - T = ma \quad \text{(1)}$

对辘轳应用转动定律

绳的张力$T$产生力矩，驱动辘轳转动：
$TR = I \alpha \quad \text{(2)}$
其中，转动惯量$I = \frac{1}{2}m_1R^2$，角加速度$\alpha = \frac{a}{R}$。代入得：
$TR = \frac{1}{2}m_1R^2 \cdot \frac{a}{R} \quad \Rightarrow \quad T = \frac{1}{2}m_1 R a \quad \text{(3)}$

联立方程求解

将式(3)代入式(1)：
$mg - \frac{1}{2}m_1 R a = ma$
整理得：
$a = \frac{mg}{m + \frac{1}{2}m_1 R}$
将$a$代入式(3)得张力：
$T = \frac{1}{2}m_1 R \cdot \frac{mg}{m + \frac{1}{2}m_1 R} = \frac{m_1 m g}{2m + m_1}$