题目
一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。
一半径为$$R $$的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为$$σ$$，求球心处电场强度的大小。
题目解答
答案
$${\sigma }\over{4{ε}_{0} } $$
解析
步骤 1：确定电荷分布和对称性
半球壳均匀带电，电荷面密度为$$σ$$，球心处的电场强度可以通过对称性简化计算。由于电荷分布的对称性，球心处的电场强度方向沿半球壳的轴线方向，即$$x$$轴方向。
步骤 2：计算半球壳上电荷元在球心处产生的电场
考虑半球壳上一个微小面积$$dA$$，其带电量为$$dQ = σdA$$。由于半球壳的对称性，球心处的电场强度只沿$$x$$轴方向，因此只需考虑$$x$$轴方向的电场分量。设微小面积$$dA$$在球心处产生的电场强度为$$dE$$，则$$dE$$沿$$x$$轴方向的分量为$$dE_x = dE\cosθ$$，其中$$θ$$是$$dA$$到球心连线与$$x$$轴的夹角。
步骤 3：计算球心处的总电场强度
球心处的总电场强度$$E$$是所有微小面积$$dA$$在球心处产生的电场强度的矢量和。由于对称性，所有微小面积$$dA$$在球心处产生的电场强度沿$$x$$轴方向的分量之和即为球心处的总电场强度。因此，球心处的总电场强度为$$E = \int dE_x = \int dE\cosθ$$。将$$dE = {dQ}\over{4πε_0R^2}$$代入上式，得$$E = \int {σdA}\over{4πε_0R^2} \cosθ$$。由于$$dA = R^2\sinθdθdφ$$，代入上式，得$$E = {σ}\over{4πε_0} \int_0^{2π} \int_0^{π/2} \sinθ\cosθdθdφ$$。计算积分，得$$E = {σ}\over{4ε_0}$$。
半球壳均匀带电，电荷面密度为$$σ$$，球心处的电场强度可以通过对称性简化计算。由于电荷分布的对称性，球心处的电场强度方向沿半球壳的轴线方向，即$$x$$轴方向。
步骤 2：计算半球壳上电荷元在球心处产生的电场
考虑半球壳上一个微小面积$$dA$$，其带电量为$$dQ = σdA$$。由于半球壳的对称性，球心处的电场强度只沿$$x$$轴方向，因此只需考虑$$x$$轴方向的电场分量。设微小面积$$dA$$在球心处产生的电场强度为$$dE$$，则$$dE$$沿$$x$$轴方向的分量为$$dE_x = dE\cosθ$$，其中$$θ$$是$$dA$$到球心连线与$$x$$轴的夹角。
步骤 3：计算球心处的总电场强度
球心处的总电场强度$$E$$是所有微小面积$$dA$$在球心处产生的电场强度的矢量和。由于对称性，所有微小面积$$dA$$在球心处产生的电场强度沿$$x$$轴方向的分量之和即为球心处的总电场强度。因此，球心处的总电场强度为$$E = \int dE_x = \int dE\cosθ$$。将$$dE = {dQ}\over{4πε_0R^2}$$代入上式，得$$E = \int {σdA}\over{4πε_0R^2} \cosθ$$。由于$$dA = R^2\sinθdθdφ$$，代入上式，得$$E = {σ}\over{4πε_0} \int_0^{2π} \int_0^{π/2} \sinθ\cosθdθdφ$$。计算积分，得$$E = {σ}\over{4ε_0}$$。