一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。

考查要点：本题主要考查带电体电场的叠加计算，特别是利用对称性简化积分的能力。需要掌握电荷面密度、电场强度的积分表达式，以及如何处理球坐标系下的面积分。

解题核心思路：

1. 对称性分析：半球壳关于水平面（开口所在平面）对称，因此电场强度在水平方向的分量相互抵消，仅需计算竖直方向（z轴方向）的分量。
2. 微元法与积分：将半球壳分为无数电荷面元，计算每个面元在球心产生的场强，再通过积分求和。
3. 球坐标系的面积分：正确表达面积元 $dS$，并利用三角函数分解场强的分量。

破题关键点：

• 场强方向：每个面元的场强沿半径向外，需分解为竖直方向的分量 $\cos\theta$。
• 积分简化：利用对称性，将二维积分简化为单变量积分。

步骤1：建立坐标系与对称性分析

以半球壳的球心为原点，开口平面为水平面，竖直方向为 $z$ 轴。
对称性：水平方向的场强分量相互抵消，仅需计算竖直方向的场强分量。

步骤2：计算微小面元的场强分量

取半球壳上一个面元，面积为 $dS$，其电荷为 $dq = \sigma dS$。
该面元在球心产生的场强大小为：
$dE = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{dq}{R^2} = \frac{\sigma dS}{4\pi\epsilon_0 R^2}$
场强方向沿半径向外，竖直方向的分量为：
$dE_z = dE \cdot \cos\theta = \frac{\sigma dS \cos\theta}{4\pi\epsilon_0 R^2}$

步骤3：球坐标系下面积元的表达

半球壳的面积元在球坐标系中为：
$dS = R^2 \sin\theta d\theta d\phi$
其中 $\theta \in [0, \pi/2]$（极角），$\phi \in [0, 2\pi]$（方位角）。

步骤4：积分求总场强

总场强为所有面元的竖直分量之和：
$E_z = \int dE_z = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \frac{\sigma R^2 \sin\theta \cos\theta}{4\pi\epsilon_0 R^2} d\theta d\phi$
化简积分式：
$E_z = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} \sin\theta \cos\theta d\theta$

步骤5：计算积分

1. 对 $\phi$ 积分：
   $\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi$
2. 对 $\theta$ 积分：令 $u = \sin\theta$，则 $du = \cos\theta d\theta$，积分变为：
   $\int_0^{\pi/2} \sin\theta \cos\theta d\theta = \int_0^1 u du = \frac{1}{2}$
3. 代入结果：
   $E_z = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sigma}{4\epsilon_0}$