9.3 有一初始浓度(比质量分数)为Y0的流体,要求用吸附剂将其浓度降-|||-低到Y2(对应的固体相的吸附质比质量分数为X2)。试证明:两级错流吸附比-|||-单级吸附节约吸收剂。

本题考查吸附过程中的物料衡算以及不同吸附方式下吸附剂用量的比较，解题思路是分别通过物料衡算得出单级吸附和两级错流吸附所需吸附剂的用量表达式，然后对两级错流吸附的表达式进行推导和分析，比较两种方式下吸附剂用量的大小。

单级吸附吸附剂用量推导

对于单级吸附，设流体的质量流量为 $G$，吸附剂的质量流量为 $L$，流体初始比质量分数为 $Y_0$，吸附后流体比质量分数为 $Y_2$，吸附剂初始比质量分数为 $X_0$，吸附后吸附剂比质量分数为 $X_2$。
根据物料衡算，流体中吸附质的减少量等于吸附剂中吸附质的增加量，即：
$G(Y_0 - Y_2)=L(X_2 - X_0)$
由此可解得单级吸附时吸附剂的用量 $L_0$ 为：
$L_0=\frac{G(Y_0 - Y_2)}{X_2 - X_0}$

两级错流吸附吸附剂用量推导

对于两级错流吸附，设第一级吸附剂用量为 $L_1$，一级流出流体的浓度为 $Y_1$，第二级吸附剂用量为 $L_2$，二级流出流体的浓度为 $Y_2$，两级所用吸附剂总量为 $L_T$，则 $L_T = L_1 + L_2$。

• 第一级物料衡算：
  $G(Y_0 - Y_1)=L_1(X_1 - X_0)$，其中 $X_1$ 为第一级吸附剂吸附后比质量分数。
• 第二级物料衡算：
  $G(Y_1 - Y_2)=L_2(X_2 - X_1)$

将上述两式相加可得：
$G(Y_0 - Y_1)+G(Y_1 - Y_2)=L_1(X_1 - X_0)+L_2(X_2 - X_1)$
化简得：
$G(Y_0 - Y_2)=L_1(X_1 - X_0)+L_2(X_2 - X_1)$

设 $L_2 = mL_1$，代入上式可得：
$G(Y_0 - Y_2)=L_1(X_1 - X_0)+mL_1(X_2 - X_1)$
$G(Y_0 - Y_2)=L_1[(X_1 - X_0)+m(X_2 - X_1)]$
$G(Y_0 - Y_2)=L_1[(1 - m)(X_1 - X_0)+m(X_2 - X_0)]$
则 $L_1=\frac{G(Y_0 - Y_2)}{(1 - m)(X_1 - X_0)+m(X_2 - X_0)}$

因为 $L_T = L_1 + L_2=(1 + m)L_1$，所以：
$L_T=\frac{(1 + m)G(Y_0 - Y_2)}{(1 - m)(X_1 - X_0)+m(X_2 - X_0)}$

由于 $(X_1 - X_0)\gt (X_2 - X_0)$，则：
$m(X_1 - X_0)+(X_2 - X_0)\gt m(X_2 - X_0)+(X_2 - X_0)=(1 + m)(X_2 - X_0)$
即 $\frac{1}{m(X_1 - X_0)+(X_2 - X_0)}\lt \frac{1}{(1 + m)(X_2 - X_0)}$

所以 $\frac{G(Y_0 - Y_2)}{\frac{m(X_1 - X_0)+(X_2 - X_0)}{1 + m}}\lt \frac{G(Y_0 - Y_2)}{X_2 - X_0}$
也就是 $L_T\lt L_0$，这表明两级错流吸附比单级吸附节约吸附剂。