题目

如图所示,CDE为光滑的轨道,其中ED是水平的,CD是竖直平面内的半圆,与ED相切于D点,且半径R=0.5m,质量m=0.1kg的滑块A静止在水平轨道上,另一质量M=0.5kg的滑块B前端装有一轻质弹簧(A、B均可视为质点)以速度v0向左运动并与滑块A发生弹性正碰,若相碰后滑块A能过半圆最高点C,取重力加速度g=10m/s2，则：(i)B滑块至少要以多大速度向前运动；(ii)如果滑块A恰好能过C点，滑块B与滑块A相碰后轻质弹簧的最大弹性势能为多少?C-|||-A B-|||-wwwww-|||-D E

如图所示,CDE为光滑的轨道,其中ED是水平的,CD是竖直平面内的半圆,与ED相切于D点,且半径R=0.5m,质量m=0.1kg的滑块A静止在水平轨道上,另一质量M=0.5kg的滑块B前端装有一轻质弹簧(A、B均可视为质点)以速度v0向左运动并与滑块A发生弹性正碰,若相碰后滑块A能过半圆最高点C,取重力加速度g=10m/s2，则：

(i)B滑块至少要以多大速度向前运动；

(ii)如果滑块A恰好能过C点，滑块B与滑块A相碰后轻质弹簧的最大弹性势能为多少?

题目解答

答案

(i)设滑块A过C点时速度为vC,B与A碰撞后,B与A的速度分别为v1、v2,B碰撞前的速度为v0

过圆轨道最高点的临界条件是重力提供向心力,由牛顿第二定律得：mg=mv2CR，

由机械能守恒定律得：12mv22=mg⋅2R+12mv2C，

B与A发生弹性碰撞,碰撞过程动量守恒、机械能守恒,以向右左为正方向,由动量守恒定律得：Mv0=Mv1+mv2，

由机械能守恒定律得：12Mv20=12Mv21+12mv22，

离那里并代入数据解得：v0=3m/s；

(ii)由于B与A碰撞后,当两者速度相同时有最大弹性势能Ep，设共同速度为v，A. B碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：

Mv0=(M+m)v，

由机械能守恒定律得：12Mv20=EP+12(M+m)v2，

联立并代入数据解得：Ep=0.375J；

答：(i)B滑块的最少速度为3m/s；

(ii)如果滑块A恰好能过C点，滑块B与滑块A相碰后轻质弹簧的最大弹性势能为0.375J.

解析

步骤 1：确定滑块A过C点的临界条件
滑块A过半圆最高点C时，重力提供向心力，由牛顿第二定律得：mg=mv2CR，其中m为滑块A的质量，vC为滑块A过C点时的速度，R为半圆的半径。
步骤 2：计算滑块A过C点时的速度
由步骤1的牛顿第二定律公式，解得：vC=√(gR)。
步骤 3：计算滑块A从D点到C点的机械能守恒
滑块A从D点到C点的过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律得：12mv22=mg⋅2R+12mv2C，其中v2为滑块A与滑块B碰撞后的速度。
步骤 4：计算滑块B与滑块A碰撞后的速度
滑块B与滑块A发生弹性正碰，碰撞过程动量守恒、机械能守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：Mv0=Mv1+mv2，由机械能守恒定律得：12Mv20=12Mv21+12mv22，其中v0为滑块B碰撞前的速度，v1为滑块B碰撞后的速度。
步骤 5：计算滑块B的最小速度
联立步骤2、步骤3、步骤4的方程，解得：v0=3m/s。
步骤 6：计算滑块B与滑块A碰撞后轻质弹簧的最大弹性势能
滑块B与滑块A碰撞后，当两者速度相同时有最大弹性势能Ep，设共同速度为v，A. B碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：Mv0=(M+m)v，由机械能守恒定律得：12Mv20=EP+12(M+m)v2，联立并代入数据解得：Ep=0.375J。