题目

如图所示，两个相干波源_(1)(S)_(2)，频率都是100 Hz，振幅均为5 cm，波速均为10 cm/s。已知波源_(1)(S)_(2)的初相位为0，试求下列情况下，_(1)(S)_(2)连线的中垂线上P点的振动表达式。(1)_(1)(S)_(2)的相位差为0; (2)_(1)(S)_(2)相位超前_(1)(S)_(2)相位_(1)(S)_(2); (3)_(1)(S)_(2)的相位差_(1)(S)_(2)。_(1)(S)_(2)

如图所示，两个相干波源 $S_1S_2$ ，频率都是100 Hz，振幅均为5 cm，波速均为10 cm/s。已知波源 $S_1$ 的初相位为0，试求下列情况下， $S_1S_2$ 连线的中垂线上P点的振动表达式。

(1) $S_1,S_2$ 的相位差为0;

(2) $S_2$ 相位超前 $S_1$ 相位 $\frac{\pi}{2}$ ;

(3) $S_1,S_2$ 的相位差 $\pi$ 。

题目解答

答案

（1）根据 $f\lambda=u$ ，所以波长也相同，已知波源 $S_1$ 的初相位为0， $\omega=2\pi f$ , $S_1$ 的波动方程可以写成 $y_1=0.05\cos200\pi\left(t-\frac{x}{0.1}\right)$ ， $S_1,S_2$ 的相位差为0时, $S_2$ 的振动方程也可以写成 $y_2=0.05\cos200\pi\left(t-\frac{x}{0.1}\right)$ ，由图可以看出 $S_1S_2$ 到P点的距离相同，根据勾股定理 $x=\sqrt{0.16^2+0.12^2}=0.2m$ ，代入得P点振动为 $y_1=0.05\cos200\pi\left(t-2\right)$ ， $y_2=0.05\cos200\pi\left(t-2\right)$ ，合振动就为 $y=y_1+y_2=0.1\cos200\pi t$ ，所以 $S_1,S_2$ 的相位差为0时，P点的振动表达式为 $y=0.1\cos200\pi t$ 。

（2） $S_2$ 相位超前 $S_1$ 相位 $\frac{\pi}{2}$ ，那么 $S_2$ 的波动方程可以写为 $y_2=0.05\cos\left(200\pi\left(t-\frac{x}{0.1}\right)+\frac{\pi}{2}\right)$ ， $S_1$ 的波动方程还是 $y_1=0.05\cos200\pi\left(t-\frac{x}{0.1}\right)$ ，代入x得到 $y_2=0.05\cos\left(200\pi t+\frac{\pi}{2}-400\pi\right)$ ， $y_1=0.05\cos200\pi t$ ，即 $y_2=0.05\cos\left(200\pi t+\frac{\pi}{2}\right)$ ，合振动就为 $y=0.05\cos200\pi t+0.05\cos\left(200\pi t+\frac{\pi}{2}\right)$ ，展开为 $y=0.05\cos200\pi t-0.05\sin200\pi t$ ，整理得 $y=0.05\sqrt{2}\cos\left(200\pi t+\frac{\pi}{4}\right)$ ，所以 $S_2$ 相位超前 $S_1$ 相位 $\frac{\pi}{2}$ 时P点的振动表达式为 $y=0.05\sqrt{2}\cos\left(200\pi t+\frac{\pi}{4}\right)$ 。

（3） $S_1,S_2$ 的相位差 $\pi$ 得 $y_2=0.05\cos\left(200\pi\left(t-\frac{x}{0.1}\right)+\pi\right)$ ，同理代入x得， $y_1=0.05\cos200\pi t$ ， $y_2=0.05\cos\left(200\pi t+\pi\right)$ ， $y=0.05\cos200\pi t+0.05\cos\left(200\pi t+\pi\right)$ ，即 $y=0.05\cos200\pi t-0.05\cos200\pi t=0$ ，所以 $S_1,S_2$ 的相位差 $\pi$ 时，P点的振动为零。