题目
11-12 一物体竖直悬挂在劲度系数为k的弹簧上做简谐振动。设振幅 A=0.24-|||-m,周期 =4.0s, 开始时在平衡位置下方0.12m处向上运动。求:(1)物体振动的位-|||-移方程表示式;(2)物体由初始位置运动到平衡位置上方0.12 m处所需的最短时间;-|||-(3)物体在平衡位置上方0.12m处所受到的合外力的大小及方向。(设物体的质量为-|||-1.0kg。)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定简谐振动的位移方程
简谐振动的位移方程可以表示为 $x=A\cos(\omega t+\phi)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，$\phi$ 是初相位。已知振幅 $A=0.24m$，周期 $T=4.0s$，因此角频率 $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{4.0}=\dfrac{\pi}{2}rad/s$。初始时刻物体在平衡位置下方0.12m处向上运动，即 $x(0)=-0.12m$，$v(0)>0$。由此可以确定初相位 $\phi$。
步骤 2：计算初相位 $\phi$
根据 $x(0)=-0.12m$，代入位移方程 $x=A\cos(\omega t+\phi)$，得到 $-0.12=0.24\cos(\phi)$，解得 $\cos(\phi)=-0.5$，因此 $\phi=\dfrac{2\pi}{3}$ 或 $\phi=\dfrac{4\pi}{3}$。由于 $v(0)>0$，即 $\dfrac{dx}{dt}(0)>0$，代入 $x=A\cos(\omega t+\phi)$，得到 $\dfrac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\phi)$，代入 $t=0$，得到 $-0.24\times\dfrac{\pi}{2}\sin(\phi)>0$，解得 $\sin(\phi)<0$，因此 $\phi=\dfrac{4\pi}{3}$。
步骤 3：确定物体由初始位置运动到平衡位置上方0.12m处所需的最短时间
根据位移方程 $x=A\cos(\omega t+\phi)$，代入 $x=0.12m$，得到 $0.12=0.24\cos(\dfrac{\pi}{2}t+\dfrac{4\pi}{3})$，解得 $\cos(\dfrac{\pi}{2}t+\dfrac{4\pi}{3})=\dfrac{1}{2}$，因此 $\dfrac{\pi}{2}t+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}$ 或 $\dfrac{\pi}{2}t+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}$，解得 $t=\dfrac{2}{3}s$ 或 $t=\dfrac{10}{3}s$。由于要求最短时间，因此 $t=\dfrac{2}{3}s$。
步骤 4：计算物体在平衡位置上方0.12m处所受到的合外力的大小及方向
根据胡克定律，物体所受到的合外力 $F=-kx$，其中 $k$ 是劲度系数，$x$ 是位移。已知 $x=0.12m$，代入 $F=-kx$，得到 $F=-k\times0.12$。由于物体的质量为 $1.0kg$，根据牛顿第二定律，$F=ma$，其中 $a$ 是加速度。已知 $a=\dfrac{d^2x}{dt^2}$，代入 $x=A\cos(\omega t+\phi)$，得到 $a=-A\omega^2\cos(\omega t+\phi)$，代入 $t=\dfrac{2}{3}s$，得到 $a=-0.24\times(\dfrac{\pi}{2})^2\cos(\dfrac{\pi}{2}\times\dfrac{2}{3}+\dfrac{4\pi}{3})=-0.3m/s^2$。因此，$F=-k\times0.12=1.0\times(-0.3)=-0.3N$，方向向下。
简谐振动的位移方程可以表示为 $x=A\cos(\omega t+\phi)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，$\phi$ 是初相位。已知振幅 $A=0.24m$，周期 $T=4.0s$，因此角频率 $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{4.0}=\dfrac{\pi}{2}rad/s$。初始时刻物体在平衡位置下方0.12m处向上运动，即 $x(0)=-0.12m$，$v(0)>0$。由此可以确定初相位 $\phi$。
步骤 2：计算初相位 $\phi$
根据 $x(0)=-0.12m$，代入位移方程 $x=A\cos(\omega t+\phi)$，得到 $-0.12=0.24\cos(\phi)$，解得 $\cos(\phi)=-0.5$，因此 $\phi=\dfrac{2\pi}{3}$ 或 $\phi=\dfrac{4\pi}{3}$。由于 $v(0)>0$，即 $\dfrac{dx}{dt}(0)>0$，代入 $x=A\cos(\omega t+\phi)$，得到 $\dfrac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\phi)$，代入 $t=0$，得到 $-0.24\times\dfrac{\pi}{2}\sin(\phi)>0$，解得 $\sin(\phi)<0$，因此 $\phi=\dfrac{4\pi}{3}$。
步骤 3：确定物体由初始位置运动到平衡位置上方0.12m处所需的最短时间
根据位移方程 $x=A\cos(\omega t+\phi)$，代入 $x=0.12m$，得到 $0.12=0.24\cos(\dfrac{\pi}{2}t+\dfrac{4\pi}{3})$，解得 $\cos(\dfrac{\pi}{2}t+\dfrac{4\pi}{3})=\dfrac{1}{2}$，因此 $\dfrac{\pi}{2}t+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}$ 或 $\dfrac{\pi}{2}t+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}$，解得 $t=\dfrac{2}{3}s$ 或 $t=\dfrac{10}{3}s$。由于要求最短时间，因此 $t=\dfrac{2}{3}s$。
步骤 4：计算物体在平衡位置上方0.12m处所受到的合外力的大小及方向
根据胡克定律，物体所受到的合外力 $F=-kx$，其中 $k$ 是劲度系数，$x$ 是位移。已知 $x=0.12m$，代入 $F=-kx$，得到 $F=-k\times0.12$。由于物体的质量为 $1.0kg$，根据牛顿第二定律，$F=ma$，其中 $a$ 是加速度。已知 $a=\dfrac{d^2x}{dt^2}$，代入 $x=A\cos(\omega t+\phi)$，得到 $a=-A\omega^2\cos(\omega t+\phi)$，代入 $t=\dfrac{2}{3}s$，得到 $a=-0.24\times(\dfrac{\pi}{2})^2\cos(\dfrac{\pi}{2}\times\dfrac{2}{3}+\dfrac{4\pi}{3})=-0.3m/s^2$。因此，$F=-k\times0.12=1.0\times(-0.3)=-0.3N$，方向向下。