题目
两个形状完全相同、质量都为M的弧形导轨A和B,相向地放在地板上,今-|||-有一质量为m的小物体,从静止状态由A的顶端下滑,A顶端的高度为h0,所有接触面均-|||-光滑。试求小物体在B轨上上升的最大高度(设A、B导轨与地面相切)。-|||-m-|||-不-|||-ho A B-|||-M M
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用机械能守恒定律和动量守恒定律
小物体从A导轨顶端下滑至地板时，对小物体与A组成的系统，应用机械能守恒定律和沿水平方向动量守恒定律，可以得到以下两个方程：
- 动量守恒：$-M{V}_{A}+mV=0$ ①
- 机械能守恒：$mg{h}_{0}=\dfrac {1}{2}M{{v}_{A}}^{2}+\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$ ②
步骤 2：求解小物体在地板上的速度
联立①、②式，解得小物体在地板上的速度为：$v=\sqrt {2Mg{h}_{0}/(M+m)}$ ③
步骤 3：应用动量守恒和机械能守恒定律求解小物体在B轨上的最大高度
当小物体以初速v沿B轨上升到最大高度H时，小物体与B有沿水平方向的共同速度u，根据动量守恒与机械能守恒，有：
- 动量守恒：$mv=(M+m)u$ ④
- 机械能守恒：$\dfrac {1}{2}m{v}^{2}=\dfrac {1}{2}(M+m){u}^{2}+mgH$ ⑤
步骤 4：联立求解最大高度H
联立④、⑤，并考虑到式③，可解得小物体在B轨上上升的最大高度为：$H=\dfrac {M{v}^{2}}{2(M+m)g}={(\dfrac {M}{M+m})}^{2}{h}_{0}$
小物体从A导轨顶端下滑至地板时，对小物体与A组成的系统，应用机械能守恒定律和沿水平方向动量守恒定律，可以得到以下两个方程：
- 动量守恒：$-M{V}_{A}+mV=0$ ①
- 机械能守恒：$mg{h}_{0}=\dfrac {1}{2}M{{v}_{A}}^{2}+\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$ ②
步骤 2：求解小物体在地板上的速度
联立①、②式，解得小物体在地板上的速度为：$v=\sqrt {2Mg{h}_{0}/(M+m)}$ ③
步骤 3：应用动量守恒和机械能守恒定律求解小物体在B轨上的最大高度
当小物体以初速v沿B轨上升到最大高度H时，小物体与B有沿水平方向的共同速度u，根据动量守恒与机械能守恒，有：
- 动量守恒：$mv=(M+m)u$ ④
- 机械能守恒：$\dfrac {1}{2}m{v}^{2}=\dfrac {1}{2}(M+m){u}^{2}+mgH$ ⑤
步骤 4：联立求解最大高度H
联立④、⑤，并考虑到式③，可解得小物体在B轨上上升的最大高度为：$H=\dfrac {M{v}^{2}}{2(M+m)g}={(\dfrac {M}{M+m})}^{2}{h}_{0}$