一级连串反应A → P → S在间歇釜式反应器中进行，使目的产物P浓度最大时的最优时间t_(opt)=（）A. (ln(K_1/K_2))/(K_2-K_1)B. (1)/(sqrt(K_1K_2))C. (ln(K_2/K_1))/(sqrt(K_1K_2))D. (ln(K_2/K_1))/(K_2-K_1)

本题考查一级连串反应在间歇釜式反应器中使目的产物浓度最大时最优时间的计算，解题思路是先写出一级连串反应中各物质浓度随时间变化的动力学方程，然后对目的产物浓度求导，令导数为零，进而求出使目的产物浓度最大时的最优时间。

对于一级连串反应$A \xrightarrow{k_1} P \xrightarrow{k_2} S$，在间歇釜式反应器中，各物质浓度随时间变化的动力学方程如下：

• 反应物$A$的浓度变化：$\frac{dC_A}{dt}=-k_1C_A$，这是一个一阶常微分方程，其通解为$C_A = C_{A0}e^{-k_1t}$，其中$C_{A0}$是反应物$A$的初始浓度。
• 中间产物$P$的浓度变化：$\frac{dC_P}{dt}=k_1C_A - k_2C_P$，将$C_A = C_{A0}e^{-k_1t}$代入上式可得$\frac{dC_P}{dt}=k_1C_{A0}e^{-k_1t} - k_2C_P$。
  这是一个一阶线性非齐次常微分方程，其通解形式为$C_P = C_{P0}+e^{-\int k_2dt}(\int k_1C_{A0}e^{-k_1t}e^{\int k_2dt}dt + C)$，由于初始时$C_{P0}=0$，经过积分运算可得$C_P=\frac{k_1C_{A0}}{k_2 - k_1}(e^{-k_1t}-e^{-k_2t})$。

为了找到使$C_P$最大时的时间$t_{opt}$，对$C_P$关于$t$求导：
$\frac{dC_P}{dt}=\frac{k_1C_{A0}}{k_2 - k_1}(-k_1e^{-k_1t}+k_2e^{-k_2t})$
令$\frac{dC_P}{dt}=0$，即$\frac{k_1C_{A0}}{k_2 - k_1}(-k_1e^{-k_1t}+k_2e^{-k_2t}) = 0$，因为$k_1\neq0$，$C_{A0}\neq0$，$k_2 - k_1\neq0$，所以$-k_1e^{-k_1t}+k_2e^{-k_2t}=0$。
移项可得$k_2e^{-k_2t}=k_1e^{-k_1t}$，进一步变形为$\frac{k_2}{k_1}=e^{(k_2 - k_1)t}$。
两边取自然对数可得$\ln(\frac{k_2}{k_1})=(k_2 - k_1)t$，解得$t_{opt}=\frac{\ln(k_2/k_1)}{k_2 - k_1}$。