题目
如图所示,一根质量为m长度为L的-|||-刚性均匀细棒可以绕通过棒的端点-|||-且垂直于棒长的固定轴o在铅直平-|||-面内无摩擦地转动。把棒子从水平-|||-位置由静止开始释放,则棒子经过-|||-铅直位置时其末端的速率为-|||-o-|||-sqrt (6gL) -|||-sqrt (2gL)-|||-sqrt (gL)-|||-D sqrt (3gL)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定刚体的转动惯量
刚性均匀细棒绕通过其一端点且垂直于棒长的固定轴转动的转动惯量为 $J = \frac{1}{3}mL^2$。
步骤 2：应用机械能守恒定律
当棒子从水平位置由静止开始释放，到达铅直位置时，其重力势能转化为转动动能。设棒子末端的线速度为 $v$，则棒子的角速度为 $\omega = \frac{v}{L}$。根据机械能守恒定律，有：
$$
\frac{1}{2}J\omega^2 = mg\frac{L}{2}
$$
将转动惯量 $J = \frac{1}{3}mL^2$ 和角速度 $\omega = \frac{v}{L}$ 代入上式，得：
$$
\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}mL^2 \cdot \left(\frac{v}{L}\right)^2 = mg\frac{L}{2}
$$
化简得：
$$
\frac{1}{6}mv^2 = mg\frac{L}{2}
$$
解得：
$$
v^2 = 3gL
$$
步骤 3：求解末端的线速度
根据上式，棒子经过铅直位置时其末端的速率为：
$$
v = \sqrt{3gL}
$$
刚性均匀细棒绕通过其一端点且垂直于棒长的固定轴转动的转动惯量为 $J = \frac{1}{3}mL^2$。
步骤 2：应用机械能守恒定律
当棒子从水平位置由静止开始释放，到达铅直位置时，其重力势能转化为转动动能。设棒子末端的线速度为 $v$，则棒子的角速度为 $\omega = \frac{v}{L}$。根据机械能守恒定律，有：
$$
\frac{1}{2}J\omega^2 = mg\frac{L}{2}
$$
将转动惯量 $J = \frac{1}{3}mL^2$ 和角速度 $\omega = \frac{v}{L}$ 代入上式，得：
$$
\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}mL^2 \cdot \left(\frac{v}{L}\right)^2 = mg\frac{L}{2}
$$
化简得：
$$
\frac{1}{6}mv^2 = mg\frac{L}{2}
$$
解得：
$$
v^2 = 3gL
$$
步骤 3：求解末端的线速度
根据上式，棒子经过铅直位置时其末端的速率为：
$$
v = \sqrt{3gL}
$$