题目
6-40 一平行板空气电容器,极板面积为S,极板间距为d,充电至带电Q-|||-后与电源断开,然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2 d.求:(1)电容器能量-|||-的改变;(2)此过程中外力所做的功,并讨论此过程中的功能转化关系.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算初始电容器能量
电容器的初始能量为 $W_{e} = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$，其中 $C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ 是电容器的初始电容。因此，初始能量为 $W_{e} = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{\frac{\varepsilon_0 S}{d}} = \frac{Q^2 d}{2 \varepsilon_0 S}$。
步骤 2：计算电容器能量的改变
当极板间距从d增加到2d时，电容变为 $C' = \frac{\varepsilon_0 S}{2d}$。由于电容器与电源断开，电荷Q保持不变，因此新的能量为 $W_{e}' = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C'} = \frac{Q^2}{2} \frac{2d}{\varepsilon_0 S} = \frac{Q^2 d}{\varepsilon_0 S}$。电容器能量的改变为 $\Delta W_{e} = W_{e}' - W_{e} = \frac{Q^2 d}{\varepsilon_0 S} - \frac{Q^2 d}{2 \varepsilon_0 S} = \frac{Q^2 d}{2 \varepsilon_0 S}$。
步骤 3：计算外力所做的功
外力所做的功等于电容器能量的增加，即 $A = \Delta W_{e} = \frac{Q^2 d}{2 \varepsilon_0 S}$。此过程中，外力克服静电引力所做的功转化为电场能量的增加。
电容器的初始能量为 $W_{e} = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$，其中 $C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ 是电容器的初始电容。因此，初始能量为 $W_{e} = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{\frac{\varepsilon_0 S}{d}} = \frac{Q^2 d}{2 \varepsilon_0 S}$。
步骤 2：计算电容器能量的改变
当极板间距从d增加到2d时，电容变为 $C' = \frac{\varepsilon_0 S}{2d}$。由于电容器与电源断开，电荷Q保持不变，因此新的能量为 $W_{e}' = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C'} = \frac{Q^2}{2} \frac{2d}{\varepsilon_0 S} = \frac{Q^2 d}{\varepsilon_0 S}$。电容器能量的改变为 $\Delta W_{e} = W_{e}' - W_{e} = \frac{Q^2 d}{\varepsilon_0 S} - \frac{Q^2 d}{2 \varepsilon_0 S} = \frac{Q^2 d}{2 \varepsilon_0 S}$。
步骤 3：计算外力所做的功
外力所做的功等于电容器能量的增加，即 $A = \Delta W_{e} = \frac{Q^2 d}{2 \varepsilon_0 S}$。此过程中，外力克服静电引力所做的功转化为电场能量的增加。