题目

对某一 mathrm(S) arrow mathrm(P) 的均相酶催化反应，假定该反应动力学方程符合 mathrm(M)-mathrm(M) 方程形式，且已知其 K_(mathrm{m)}=1.2mathrm(~mol/L)，r_(max )=3 times 10^-2mathrm(~mol/(L cdot min))。根据设计要求年产产物 mathrm(P) 为 72000mathrm(~mol)，并已知 C_(mathrm{so)}=2mathrm(~mol/L)，X_(mathrm{s)}=0.95。全年反应器的操作时间为 7200mathrm(~h)，其中 BSTR 的每一操作周期内所需辅助时间为 2mathrm(~h)。若采用 BSTR 进行上述反应，试求所需反应器的有效体积应为多少？

对某一 $\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{P}$ 的均相酶催化反应，假定该反应动力学方程符合 $\mathrm{M}-\mathrm{M}$ 方程形式，且已知其 $K_{\mathrm{m}}=1.2\mathrm{~mol/L}$，$r_{\max }=3 \times 10^{-2}\mathrm{~mol/(L \cdot min)}$。

根据设计要求年产产物 $\mathrm{P}$ 为 $72000\mathrm{~mol}$，并已知 $C_{\mathrm{so}}=2\mathrm{~mol/L}$，$X_{\mathrm{s}}=0.95$。全年反应器的操作时间为 $7200\mathrm{~h}$，其中 BSTR 的每一操作周期内所需辅助时间为 $2\mathrm{~h}$。若采用 BSTR 进行上述反应，试求所需反应器的有效体积应为多少？

题目解答

答案

根据M-M方程，反应速率 $ -r_s = \frac{1.8 C_s}{1.2 + C_s} $。 反应时间计算为： \[ t = \frac{1}{1.8} \left( 1.2 \ln \frac{C_{s0}}{C_s} + (C_{s0} - C_s) \right) = \frac{1}{1.8} (1.2 \ln 20 + 1.9) \approx 3.05 \, \text{h} \] 总周期时间 $ t_{\text{total}} = 3.05 + 2 = 5.05 \, \text{h} $。 年周期数 $ N = \frac{7200}{5.05} \approx 1425.74 $。 每周期产物量 $ n_P = \frac{72000}{1425.74} \approx 50.5 \, \text{mol} $。 由 $ 1.9 V = 50.5 $，得： \[ V = \frac{50.5}{1.9} \approx 26.6 \, \text{L} \] 答案：约26.6 L。

解析

本题主要考察均相酶催化反应动力学（M - M方程）以及间歇式搅拌釜反应器（BSTR）的设计计算。解题思路如下：

  1. 确定反应速率方程：根据已知的 $K_{\mathrm{m}}$ 和 $r_{\max }$，利用M - M方程确定反应速率表达式。
  2. 计算反应时间：根据反应的初始底物浓度 $C_{\mathrm{so}}$、转化率 $X_{\mathrm{s}}$ 以及反应速率方程，通过积分计算出达到要求转化率所需的反应时间 $t$。
  3. 计算总周期时间：总周期时间等于反应时间加上每一操作周期内所需的辅助时间。
  4. 计算年周期数：用全年反应器的操作时间除以总周期时间，得到年周期数。
  5. 计算每周期产物量：用全年产物产量除以年周期数，得到每周期产物的生成量。
  6. 计算反应器有效体积：根据每周期产物量和底物的转化量，计算出反应器的有效体积。

详细计算过程

  1. 确定反应速率方程
    M - M方程的表达式为：$-r_{\mathrm{s}}=\frac{r_{\max }C_{\mathrm{s}}}{K_{\mathrm{m}} + C_{\mathrm{s}}}$
    已知 $K_{\mathrm{m}} = 1.2\mathrm{mol/L}$，$r_{\max } = 3\times10^{-2}\mathrm{mol/(L\cdot min)}$，代入可得：
    $-r_{\mathrm{s}}=\frac{3\times10^{-2}C_{\mathrm{s}}}{1.2 + C_{\mathrm{s}}}\mathrm{mol/(L\cdot min)}$
    将其单位换算为 $\mathrm{mol/(L\cdot h)}$，因为 $1\mathrm{h}=60\mathrm{min}$，所以：
    $-r_{\mathrm{s}}=\frac{3\times10^{-2}\times60C_{\mathrm{s}}}{1.2 + C_{\mathrm{s}}}=\frac{1.8C_{\mathrm{s}}}{1.2 + C_{\mathrm{s}}}\mathrm{mol/(L\cdot h)}$
  2. 计算反应时间
    对于间歇式反应器，反应时间 $t$ 的计算公式为：
    $t=\int_{C_{\mathrm{s}}}^{C_{\mathrm{so}}}\frac{dC_{\mathrm{s}}}{-r_{\mathrm{s}}}$
    将 $-r_{\mathrm{s}}=\frac{1.8C_{\mathrm{s}}}{1.2 + C_{\mathrm{s}}}$ 代入上式可得：
    $t=\int_{C_{\mathrm{s}}}^{C_{\mathrm{so}}}\frac{1.2 + C_{\mathrm{s}}}{1.8C_{\mathrm{s}}}dC_{\mathrm{s}}=\frac{1}{1.8}\int_{C_{\mathrm{s}}}^{C_{\mathrm{so}}}(\frac{1.2}{C_{\mathrm{s}}}+ 1)dC_{\mathrm{s}}$
    $=\frac{1}{1.8}\left[1.2\ln\frac{C_{\mathrm{so}}}{C_{\mathrm{s}}}+(C_{\mathrm{so}} - C_{\mathrm{s}})\right]$
    已知 $C_{\mathrm{so}} = 2\mathrm{mol/L}$，$X_{\mathrm{s}} = 0.95$，则反应后底物浓度 $C_{\mathrm{s}}=C_{\mathrm{so}}(1 - X_{\mathrm{s}})=2\times(1 - 0.95)=0.1\mathrm{mol/L}$
    代入上式可得：
    $t=\frac{1}{1.8}\left(1.2\ln\frac{2}{0.1}+(2 - 0.1)\right)=\frac{1}{1.8}(1.2\ln 20 + 1.9)$
    $\approx\frac{1}{1.8}(1.2\times2.996 + 1.9)=\frac{1}{1.8}(3.595 + 1.9)=\frac{5.495}{1.8}\approx3.05\mathrm{h}$
  3. 计算总周期时间
    已知每一操作周期内所需辅助时间为 $2\mathrm{h}$，则总周期时间 $t_{\text{total}}$ 为：
    $t_{\text{total}}=t + 2=3.05 + 2 = 5.05\mathrm{h}$
  4. 计算年周期数
    全年反应器的操作时间为 $7200\mathrm{h}$，则年周期数 $N$ 为：
    $N=\frac{7200}{t_{\text{total}}}=\frac{7200}{5.05}\approx1425.74$
  5. 计算每周期产物量
    已知全年产物产量为 $72000\mathrm{mol}$，则每周期产物量 $n_{\mathrm{P}}$ 为：
    $n_{\mathrm{P}}=\frac{72000}{N}=\frac{72000}{1425.74}\approx50.5\mathrm{mol}$
  6. 计算反应器有效体积
    底物的转化量 $\Delta n_{\mathrm{s}}=C_{\mathrm{so}}V\times X_{\mathrm{s}}=2V\times0.95 = 1.9V$
    因为产物的生成量等于底物的转化量，即 $\Delta n_{\mathrm{s}}=n_{\mathrm{P}}$，所以：
    $1.9V = 50.5$
    解得：
    $V=\frac{50.5}{1.9}\approx26.6\mathrm{L}$