两波在一很长的弦线上传播,其表达式分别为:_(1)=4.00times (10)^-2cos dfrac (1)(3)pi (4x-24t) (SI)_(1)=4.00times (10)^-2cos dfrac (1)(3)pi (4x-24t) (SI)求:(1)两波的频率、波长、波速;(2) 两波叠加后的节点位置;(3) 叠加后振幅最大的那些点的位置.

步骤 1：确定波动方程的标准形式
波动方程的标准形式为$y=A\cos 2\pi (vt-x/\lambda )$，其中$A$是振幅，$v$是频率，$\lambda$是波长，$t$是时间，$x$是位置。
步骤 2：对比波动方程确定频率、波长和波速
对于${y}_{1}=4.00\times {10}^{-2}\cos \dfrac {1}{3}\pi (4x-24t)$，对比标准形式，可以得到：
- 频率$v=24/(2\pi \times \dfrac {1}{3}\pi )=4$ Hz
- 波长$\lambda=4/(2\pi \times \dfrac {1}{3}\pi )=1.50$ m
- 波速$u=v\lambda=4\times 1.50=6.00$ m/s
对于${y}_{2}=4.00\times {10}^{-2}\cos \dfrac {1}{3}\pi (4x+24t)$，对比标准形式，可以得到：
- 频率$v=24/(2\pi \times \dfrac {1}{3}\pi )=4$ Hz
- 波长$\lambda=4/(2\pi \times \dfrac {1}{3}\pi )=1.50$ m
- 波速$u=v\lambda=4\times 1.50=6.00$ m/s
步骤 3：确定节点位置
节点位置是两波叠加后振幅为零的位置，即${y}_{1}+{y}_{2}=0$。将${y}_{1}$和${y}_{2}$的表达式相加，得到：
$4.00\times {10}^{-2}\cos \dfrac {1}{3}\pi (4x-24t)+4.00\times {10}^{-2}\cos \dfrac {1}{3}\pi (4x+24t)=0$
利用三角函数的和差化积公式，可以得到：
$2\times 4.00\times {10}^{-2}\cos \dfrac {1}{3}\pi (4x)\cos \dfrac {1}{3}\pi (24t)=0$
由于$\cos \dfrac {1}{3}\pi (24t)$不恒为零，因此$\cos \dfrac {1}{3}\pi (4x)=0$，即$\dfrac {1}{3}\pi (4x)=\pm (n\pi +\dfrac {1}{2}\pi )$，其中$n$为整数。解得$x=\pm 3(n+\dfrac {1}{2})$ m，$n=0,1,2,3,\ldots$
步骤 4：确定振幅最大的位置
振幅最大的位置是两波叠加后振幅最大的位置，即${y}_{1}+{y}_{2}$的绝对值最大。将${y}_{1}$和${y}_{2}$的表达式相加，得到：
$4.00\times {10}^{-2}\cos \dfrac {1}{3}\pi (4x-24t)+4.00\times {10}^{-2}\cos \dfrac {1}{3}\pi (4x+24t)$
利用三角函数的和差化积公式，可以得到：
$2\times 4.00\times {10}^{-2}\cos \dfrac {1}{3}\pi (4x)\cos \dfrac {1}{3}\pi (24t)$
由于$\cos \dfrac {1}{3}\pi (24t)$的绝对值最大为1，因此$\cos \dfrac {1}{3}\pi (4x)$的绝对值最大为1，即$\dfrac {1}{3}\pi (4x)=\pm n\pi$，其中$n$为整数。解得$x=\pm 3n/4$ m，$n=0,1,2,3,\ldots$