题目
4.有一半径为R的均匀带电球面,带电量为Q,沿半径方向上放置一均匀带电细线,-|||-电荷线密度为λ,长度为L,细线近端离球心的距离为L,如图10所示。设球和细线上的电-|||-荷分布固定,试求细线在电场中的电势能。-|||-λ-|||-R O-|||-L L-|||-图10
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定球面电荷产生的电势
均匀带电球面在球外产生的电势与点电荷产生的电势相同，即在距离球心r处的电势为$V(r)=\dfrac {Q}{4\pi {\varepsilon }_{0}r}$。
步骤 2：计算细线在电场中的电势能
细线在电场中的电势能可以通过积分计算，即$W=\int dw={\int }_{L}^{L+L}\lambda \dfrac {Q}{4\pi {\varepsilon }_{0}x}dx$，其中x为细线上某点到球心的距离，λ为细线的电荷线密度，Q为球面的总电荷量，${\varepsilon }_{0}$为真空介电常数。
步骤 3：计算积分
将积分式代入并计算，得到$W=\dfrac {Q\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}\ln \dfrac {L+L}{L}=\dfrac {Q\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}\ln 2$。
均匀带电球面在球外产生的电势与点电荷产生的电势相同，即在距离球心r处的电势为$V(r)=\dfrac {Q}{4\pi {\varepsilon }_{0}r}$。
步骤 2：计算细线在电场中的电势能
细线在电场中的电势能可以通过积分计算，即$W=\int dw={\int }_{L}^{L+L}\lambda \dfrac {Q}{4\pi {\varepsilon }_{0}x}dx$，其中x为细线上某点到球心的距离，λ为细线的电荷线密度，Q为球面的总电荷量，${\varepsilon }_{0}$为真空介电常数。
步骤 3：计算积分
将积分式代入并计算，得到$W=\dfrac {Q\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}\ln \dfrac {L+L}{L}=\dfrac {Q\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}\ln 2$。