题目
一根匀质链条,质量为m,总长度为L,一部分放在光滑桌面上,另一部分从桌面边缘下垂,长度为a,试求当链条下滑全部离开桌面时,它的速率为多少?(用牛二定律求解)。
一根匀质链条,质量为m,总长度为L,一部分放在光滑桌面上,另一部分从桌面边缘下垂,长度为a,试求当链条下滑全部离开桌面时,它的速率为多少?(用牛二定律求解)。
题目解答
答案
解:选取向下为坐标正方向,将整个链条视为一个系统,当链条下落距离x时,写出牛顿运动方程
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当链条下滑全部离开桌面时,它的速率为
解析
步骤 1：确定链条的受力情况
链条在下落过程中，受到重力的作用。由于桌面是光滑的，链条在桌面上的部分不受摩擦力，只有下垂部分受到重力的作用。因此，链条的加速度与下垂部分的长度有关。
步骤 2：建立牛顿第二定律方程
设链条下垂部分的长度为x，那么下垂部分的质量为$\dfrac {m}{L}\times x$。根据牛顿第二定律，有$\dfrac {m}{L}\times g=\dfrac {m}{L}\times x\dfrac {dv}{dt}$，其中v是链条下垂部分的速度，g是重力加速度。
步骤 3：将牛顿第二定律方程转换为速度和位移的关系
将$\dfrac {dv}{dt}$转换为$\dfrac {dv}{dx}\dfrac {dx}{dt}=v\dfrac {dv}{dx}$，代入牛顿第二定律方程，得到$\dfrac {m}{L}\times g=\dfrac {m}{L}\times x\times v\dfrac {dv}{dx}$，简化后得到$\dfrac {g}{L}\times dx=vdv$。
步骤 4：积分求解速度
对上式两边积分，得到${\int }_{0}^{x}\dfrac {g}{L}dx={\int }_{0}^{v}vdv$，即$\dfrac {g}{L}x=\dfrac {1}{2}v^{2}$。当链条全部离开桌面时，x=L-a，代入上式得到$\dfrac {g}{L}(L-a)=\dfrac {1}{2}v^{2}$，解得$v=\sqrt {2g(L-a)/L}$。
链条在下落过程中，受到重力的作用。由于桌面是光滑的，链条在桌面上的部分不受摩擦力，只有下垂部分受到重力的作用。因此，链条的加速度与下垂部分的长度有关。
步骤 2：建立牛顿第二定律方程
设链条下垂部分的长度为x，那么下垂部分的质量为$\dfrac {m}{L}\times x$。根据牛顿第二定律，有$\dfrac {m}{L}\times g=\dfrac {m}{L}\times x\dfrac {dv}{dt}$，其中v是链条下垂部分的速度，g是重力加速度。
步骤 3：将牛顿第二定律方程转换为速度和位移的关系
将$\dfrac {dv}{dt}$转换为$\dfrac {dv}{dx}\dfrac {dx}{dt}=v\dfrac {dv}{dx}$，代入牛顿第二定律方程，得到$\dfrac {m}{L}\times g=\dfrac {m}{L}\times x\times v\dfrac {dv}{dx}$，简化后得到$\dfrac {g}{L}\times dx=vdv$。
步骤 4：积分求解速度
对上式两边积分，得到${\int }_{0}^{x}\dfrac {g}{L}dx={\int }_{0}^{v}vdv$，即$\dfrac {g}{L}x=\dfrac {1}{2}v^{2}$。当链条全部离开桌面时，x=L-a，代入上式得到$\dfrac {g}{L}(L-a)=\dfrac {1}{2}v^{2}$，解得$v=\sqrt {2g(L-a)/L}$。