在利用牛顿环测未知单色光波长的实验中,当用已知波长为 589.3 nm 的钠黄光垂直照射时,测得第一和第四暗环的距离为 Δ r = 4.00 ×10 -3 m ;当用波长未知的单色光垂直照射时,测得第一和第四暗环的距离为 Δ r ′ = 3.85 ×10 -3 m ,求该单色光的波长.

考查要点：本题主要考查牛顿环实验中光波波长的测量原理，以及利用比例关系求解未知波长的能力。

解题核心思路：

1. 牛顿环暗环条件：暗环对应的光程差为半波长的奇数倍，推导出暗环半径公式。
2. Δr与波长的关系：通过相邻暗环半径差Δr与波长的平方根成正比，建立比例关系。
3. 比例法求解：利用已知波长对应的Δr与未知波长对应的Δr'，通过比例式计算未知波长。

破题关键点：

• 明确暗环半径公式：第k个暗环半径$r_k = \sqrt{\frac{(2k-1)\lambda R}{2}}$。
• Δr的表达式：Δr = $r_4 - r_1 = \sqrt{\frac{7\lambda R}{2}} - \sqrt{\frac{\lambda R}{2}}$，化简后与$\sqrt{\lambda}$成正比。
• 比例关系：$\frac{\Delta r'}{\Delta r} = \sqrt{\frac{\lambda'}{\lambda}}$，直接代入已知量求解。

步骤1：建立暗环半径公式

根据牛顿环暗环条件，第k个暗环半径满足：
$r_k = \sqrt{\frac{(2k-1)\lambda R}{2}}$
其中，$k=1$对应第一暗环，$k=4$对应第四暗环。

步骤2：计算Δr的表达式

第一暗环半径：
$r_1 = \sqrt{\frac{\lambda R}{2}}$
第四暗环半径：
$r_4 = \sqrt{\frac{7\lambda R}{2}}$
两者的差值为：
$\Delta r = r_4 - r_1 = \sqrt{\frac{7\lambda R}{2}} - \sqrt{\frac{\lambda R}{2}} = \sqrt{\frac{\lambda R}{2}} (\sqrt{7} - 1)$
可见，$\Delta r$与$\sqrt{\lambda}$成正比。

步骤3：建立比例关系

设钠黄光波长为$\lambda_1 = 589.3 \, \text{nm}$，对应$\Delta r_1 = 4.00 \times 10^{-3} \, \text{m}$；未知光波长为$\lambda_2$，对应$\Delta r_2 = 3.85 \times 10^{-3} \, \text{m}$。根据正比关系：
$\frac{\Delta r_2}{\Delta r_1} = \sqrt{\frac{\lambda_2}{\lambda_1}}$
解得：
$\lambda_2 = \lambda_1 \left( \frac{\Delta r_2}{\Delta r_1} \right)^2$

步骤4：代入数据计算

$\lambda_2 = 589.3 \, \text{nm} \times \left( \frac{3.85 \times 10^{-3}}{4.00 \times 10^{-3}} \right)^2 = 589.3 \times (0.9625)^2 \approx 546 \, \text{nm}$