(1)在单缝夫琅禾费衍射实验中,垂直入射的光有两种波长,λ1=400nm,λ2=760nm (1nm=10-9m).已知单缝宽度a=1.0l0-2cm,透镜焦距f=50cm.求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。(2)若用光栅常数d=1.0X10-3cm的光栅替换单缝,其他条件和上一问相同,求两种光第一级主极大之间的距离.

步骤 1：单缝衍射明纹公式
单缝衍射明纹公式为 $a\sin{\varphi} = \frac{1}{2}(2k+1)\lambda$，其中 $a$ 是单缝宽度，$\varphi$ 是衍射角，$k$ 是级数，$\lambda$ 是光波长。对于第一级明纹，$k=1$，因此公式变为 $a\sin{\varphi} = \frac{3}{2}\lambda$。
步骤 2：计算两种光的第一级明纹位置
对于波长 $\lambda_1 = 400nm$，有 $a\sin{\varphi_1} = \frac{3}{2}\lambda_1$，解得 $\sin{\varphi_1} = \frac{3}{2}\frac{\lambda_1}{a}$。
对于波长 $\lambda_2 = 760nm$，有 $a\sin{\varphi_2} = \frac{3}{2}\lambda_2$，解得 $\sin{\varphi_2} = \frac{3}{2}\frac{\lambda_2}{a}$。
步骤 3：计算两种光的第一级明纹中心之间的距离
由于 $\sin{\varphi} \approx \tan{\varphi} = \frac{x}{f}$，其中 $x$ 是明纹中心到透镜中心的距离，$f$ 是透镜焦距。因此，两种光的第一级明纹中心之间的距离为 $\Delta x = x_2 - x_1 = f(\tan{\varphi_2} - \tan{\varphi_1}) = f(\sin{\varphi_2} - \sin{\varphi_1})$。
步骤 4：光栅衍射主极大公式
光栅衍射主极大公式为 $d\sin{\varphi} = k\lambda$，其中 $d$ 是光栅常数，$\varphi$ 是衍射角，$k$ 是级数，$\lambda$ 是光波长。对于第一级主极大，$k=1$，因此公式变为 $d\sin{\varphi} = \lambda$。
步骤 5：计算两种光的第一级主极大位置
对于波长 $\lambda_1 = 400nm$，有 $d\sin{\varphi_1} = \lambda_1$，解得 $\sin{\varphi_1} = \frac{\lambda_1}{d}$。
对于波长 $\lambda_2 = 760nm$，有 $d\sin{\varphi_2} = \lambda_2$，解得 $\sin{\varphi_2} = \frac{\lambda_2}{d}$。
步骤 6：计算两种光的第一级主极大之间的距离
由于 $\sin{\varphi} \approx \tan{\varphi} = \frac{x}{f}$，其中 $x$ 是主极大中心到透镜中心的距离，$f$ 是透镜焦距。因此，两种光的第一级主极大之间的距离为 $\Delta x = x_2 - x_1 = f(\tan{\varphi_2} - \tan{\varphi_1}) = f(\sin{\varphi_2} - \sin{\varphi_1})$。