题目
质量为5 kg的一桶水悬于绕在辘轳上的轻绳的下端,辘轳可视为一质量为10 kg的圆柱体.桶从井口由静止释放,求桶下落过程中绳中的张力.辘轳绕轴转动时的转动惯量为dfrac (1)(2)M(R)^2 __-|||-__-|||-__ __ -|||-__,其中M和R分别为辘轳的质量和半径,轴上摩擦忽略不计.
质量为5 kg的一桶水悬于绕在辘轳上的轻绳的下端,辘轳可视为一质量为10 kg的圆柱体.桶从井口由静止释放,求桶下落过程中绳中的张力.辘轳绕轴转动时的转动惯量为
,其中M和R分别为辘轳的质量和半径,轴上摩擦忽略不计.
,其中M和R分别为辘轳的质量和半径,轴上摩擦忽略不计.题目解答
答案
解:对水桶和圆柱形辘轳分别用牛顿运动定律和转动定律列方程
mg-T =ma ① 1分
TR=J ② 1分
a=R ③ 1分
由此可得 T=m(g-a)=m
那么 
将 J =
MR2代入上式,得
MR2代入上式,得
=24。5 N 2分
解析
步骤 1：确定水桶的受力情况
水桶受到重力mg和绳子的张力T的作用，根据牛顿第二定律，可以得到水桶的运动方程为：$mg - T = ma$，其中a是水桶的加速度。
步骤 2：确定辘轳的转动情况
辘轳受到绳子的张力T的作用，根据转动定律，可以得到辘轳的转动方程为：$TR = J\alpha$，其中J是辘轳的转动惯量，$\alpha$是辘轳的角加速度。由于辘轳的转动惯量为$J = \frac{1}{2}MR^2$，所以可以得到$TR = \frac{1}{2}MR^2\alpha$。
步骤 3：确定水桶和辘轳的加速度关系
由于绳子是轻绳，所以水桶的加速度a和辘轳的角加速度$\alpha$之间存在关系：$a = R\alpha$。
步骤 4：联立方程求解张力T
将步骤1和步骤2中的方程联立，可以得到：$mg - T = mR\alpha$，$TR = \frac{1}{2}MR^2\alpha$。将$a = R\alpha$代入第一个方程，可以得到：$mg - T = mR\frac{T}{\frac{1}{2}MR}$，化简得到：$T = \frac{mMg}{M + 2m}$。
水桶受到重力mg和绳子的张力T的作用，根据牛顿第二定律，可以得到水桶的运动方程为：$mg - T = ma$，其中a是水桶的加速度。
步骤 2：确定辘轳的转动情况
辘轳受到绳子的张力T的作用，根据转动定律，可以得到辘轳的转动方程为：$TR = J\alpha$，其中J是辘轳的转动惯量，$\alpha$是辘轳的角加速度。由于辘轳的转动惯量为$J = \frac{1}{2}MR^2$，所以可以得到$TR = \frac{1}{2}MR^2\alpha$。
步骤 3：确定水桶和辘轳的加速度关系
由于绳子是轻绳，所以水桶的加速度a和辘轳的角加速度$\alpha$之间存在关系：$a = R\alpha$。
步骤 4：联立方程求解张力T
将步骤1和步骤2中的方程联立，可以得到：$mg - T = mR\alpha$，$TR = \frac{1}{2}MR^2\alpha$。将$a = R\alpha$代入第一个方程，可以得到：$mg - T = mR\frac{T}{\frac{1}{2}MR}$，化简得到：$T = \frac{mMg}{M + 2m}$。