3、一个电加热元件直径为 =20mm 长 1=30-|||-0mm的金属圆棒,其导热系数 lambda =20W/(mcdot (C)_(2)),-|||-密度 rho =7800kg/(m)^3, 比热 (=420J/(kg(cdot )^circ C),-|||-该元件放置于温度为10°C的房间内,电加热-|||-功車为300W,元件表面传热系数 =35W/((m)^2-|||-°C), 求:(1)当电路故障突然停电时,元件表面温-|||-度;(2)停电10分钟后,元件表面温度;(3)在停电的-|||-10分钟内,元件少向室内件给的热量。

考查要点：本题主要考察非稳态传热过程中的冷却问题，涉及牛顿冷却定律和非稳态传热方程的应用。
解题思路：

1. 停电瞬间温度：通过电加热功率与对流散热功率平衡，利用牛顿冷却定律求初始表面温度。
2. 停电后温度变化：采用非稳态传热方程（指数衰减模型），结合材料热物性参数计算温度随时间变化。
3. 热量计算：通过温度变化与热容量的关系，计算散热总量。
   关键点：正确计算表面积、体积、热容量，区分稳态与非稳态条件下的公式应用。

第（1）题：停电瞬间表面温度

稳态条件下的能量平衡

电加热功率全部用于对流散热：
$P = hA(T_s - T_\infty)$

计算表面积

圆棒侧面积（忽略端面）：
$A = \pi d l = \pi \times 0.02 \times 0.3 = 0.01885 \, \text{m}^2$

求解表面温度

代入公式：
$300 = 35 \times 0.01885 \times (T_s - 10)$
解得：
$T_s = 466.4^\circ \text{C}$

第（2）题：停电10分钟后表面温度

非稳态传热方程

温度随时间变化规律：
$\frac{T_s(t) - T_\infty}{T_{s0} - T_\infty} = e^{-\frac{hA}{C}t}$

计算热容量

体积：
$V = \frac{\pi d^2}{4} l = \frac{\pi \times 0.02^2}{4} \times 0.3 = 9.42 \times 10^{-5} \, \text{m}^3$
热容量：
$C = \rho V c = 7800 \times 9.42 \times 10^{-5} \times 420 = 308.4 \, \text{J/}^\circ \text{C}$

计算指数项

$\frac{hA}{C} t = \frac{35 \times 0.01885 \times 600}{308.4} \approx 1.285$

求解最终温度

$T_s(600) = 10 + (466.4 - 10) \times e^{-1.285} \approx 136.0^\circ \text{C}$

第（3）题：停电10分钟内散热热量

温度差计算

$\Delta T = 466.4 - 136.0 = 330.4^\circ \text{C}$

热量计算

$Q = C \Delta T = 308.4 \times 330.4 \approx 102243.3 \, \text{J}$