题目
3、一个电加热元件直径为 =20mm 长 1=30-|||-0mm的金属圆棒,其导热系数 lambda =20W/(mcdot (C)_(2)),-|||-密度 rho =7800kg/(m)^3, 比热 (=420J/(kg(cdot )^circ C),-|||-该元件放置于温度为10°C的房间内,电加热-|||-功車为300W,元件表面传热系数 =35W/((m)^2-|||-°C), 求:(1)当电路故障突然停电时,元件表面温-|||-度;(2)停电10分钟后,元件表面温度;(3)在停电的-|||-10分钟内,元件少向室内件给的热量。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算元件表面温度（电路故障前）
在电加热元件正常工作时，元件表面的传热功率应与电加热功率相等。根据牛顿冷却定律：$q=hA(T_s-T_{\infty})$，其中 $q$ 为热量传递速率，$A$ 为表面积，$T_s$ 为元件表面温度，$T_{\infty}$ 为环境温度。元件的表面积为：$A=\pi d l=\pi \times 0.02 \times 0.3=0.01885 m^2$。将已知条件代入牛顿冷却定律：$P=hA(T_s-T_{\infty})$，$300=35\times 0.01885\times (T_s-10)$，解方程得：$T_s-10=\frac{300}{35\times 0.01885}\approx 456.4$，$T_s=456.4+10=466.4^{\circ}C$。因此，当电路故障突然停电时，元件表面温度为466.4°C。
步骤 2：计算停电10分钟后的元件表面温度
停电后，元件停止加热，只依靠对流散热，温度逐渐降低。我们使用非稳态传热方程计算元件的温度变化。首先计算元件的热容量：$C=\rho Vc$，其中，元件的体积 $V$ 为：$V=\frac{\pi d^2}{4}\times l=\frac{\pi \times 0.02^2}{4}\times 0.3=9.42\times 10^{-5} m^3$。因此，热容量为：$C=7800\times 9.42\times 10^{-5}\times 420\approx 308.4 J/^{\circ}C$。根据非稳态传热方程，温度变化遵循：$T_s=T_{\infty}+(T_s-T_{\infty})e^{-\frac{hAt}{C}}$，其中，$T_s=466.4^{\circ}C$，时间 $t=10min=600s$。代入已知条件，计算指数项：$\frac{hAt}{C}=\frac{35\times 0.01885\times 600}{308.4}\approx 1.285$。因此，表面温度为：$\frac{T_s-10}{466.4-10}=e^{-1.285}\approx 0.276$，$T_s-10=0.276\times (466.4-10)\approx 126.0$，$T_s=126.0+10=136.0^{\circ}C$。因此，停电10分钟后的元件表面温度为136.0°C。
步骤 3：计算停电10分钟内元件散热的热量
散热的热量可以通过以下公式计算：$Q=C(T_s-T_s)$，代入数值：$Q=308.4\times (466.4-136.0)\approx 102243.3 J$。因此，停电10分钟内，元件向室内散发的热量为102243.3J。
在电加热元件正常工作时，元件表面的传热功率应与电加热功率相等。根据牛顿冷却定律：$q=hA(T_s-T_{\infty})$，其中 $q$ 为热量传递速率，$A$ 为表面积，$T_s$ 为元件表面温度，$T_{\infty}$ 为环境温度。元件的表面积为：$A=\pi d l=\pi \times 0.02 \times 0.3=0.01885 m^2$。将已知条件代入牛顿冷却定律：$P=hA(T_s-T_{\infty})$，$300=35\times 0.01885\times (T_s-10)$，解方程得：$T_s-10=\frac{300}{35\times 0.01885}\approx 456.4$，$T_s=456.4+10=466.4^{\circ}C$。因此，当电路故障突然停电时，元件表面温度为466.4°C。
步骤 2：计算停电10分钟后的元件表面温度
停电后，元件停止加热，只依靠对流散热，温度逐渐降低。我们使用非稳态传热方程计算元件的温度变化。首先计算元件的热容量：$C=\rho Vc$，其中，元件的体积 $V$ 为：$V=\frac{\pi d^2}{4}\times l=\frac{\pi \times 0.02^2}{4}\times 0.3=9.42\times 10^{-5} m^3$。因此，热容量为：$C=7800\times 9.42\times 10^{-5}\times 420\approx 308.4 J/^{\circ}C$。根据非稳态传热方程，温度变化遵循：$T_s=T_{\infty}+(T_s-T_{\infty})e^{-\frac{hAt}{C}}$，其中，$T_s=466.4^{\circ}C$，时间 $t=10min=600s$。代入已知条件，计算指数项：$\frac{hAt}{C}=\frac{35\times 0.01885\times 600}{308.4}\approx 1.285$。因此，表面温度为：$\frac{T_s-10}{466.4-10}=e^{-1.285}\approx 0.276$，$T_s-10=0.276\times (466.4-10)\approx 126.0$，$T_s=126.0+10=136.0^{\circ}C$。因此，停电10分钟后的元件表面温度为136.0°C。
步骤 3：计算停电10分钟内元件散热的热量
散热的热量可以通过以下公式计算：$Q=C(T_s-T_s)$，代入数值：$Q=308.4\times (466.4-136.0)\approx 102243.3 J$。因此，停电10分钟内，元件向室内散发的热量为102243.3J。