题目

化工厂尾气中有毒化学物质的净化已成为当今环境治理的重要课题。(PH)_3是一种高毒、易燃的气体，即使少量排放于大气中，也会带来明显的安全隐患。净化(PH)_3的技术之一就是将其催化分解为磷和氢气。众所周知，高纯磷和氢气具有很高的工业价值，因此，催化分解法处理磷化氢不仅具有极高的环保价值，同时也具有良好的经济意义。650℃下磷化氢（A）气体分解反应及动力学方程如下[ 4(PH)_3 arrow (P)_4((g)) + 6(H)_2, (-r_A) = (10(h)^-1) c_A ]试求：在649℃、11.4atm下，进口物流包含(2)/(3)的磷化氢和(1)/(3)的惰性气体，磷化氢流量为10(mol/h)，达到75%转化率时，所需平推流反应器体积为多少？

化工厂尾气中有毒化学物质的净化已成为当今环境治理的重要课题。$\text{PH}_3$是一种高毒、易燃的气体，即使少量排放于大气中，也会带来明显的安全隐患。净化$\text{PH}_3$的技术之一就是将其催化分解为磷和氢气。众所周知，高纯磷和氢气具有很高的工业价值，因此，催化分解法处理磷化氢不仅具有极高的环保价值，同时也具有良好的经济意义。650℃下磷化氢（A）气体分解反应及动力学方程如下 $4\text{PH}_3 \rightarrow \text{P}_4(\text{g}) + 6\text{H}_2, \quad (-r_A) = (10\text{h}^{-1}) c_A$ 试求：在649℃、11.4atm下，进口物流包含$\frac{2}{3}$的磷化氢和$\frac{1}{3}$的惰性气体，磷化氢流量为$10\text{mol/h}$，达到75%转化率时，所需平推流反应器体积为多少？

题目解答

答案

根据题意，$F_{A0} = 10 \, \text{mol/h}$，$Q_0 = 99.6 \, \text{L/h}$，$k = 10 \, h^{-1}$。 反应器体积计算： \[ V = \frac{Q_0}{k} \int_0^{0.75} \frac{1 - X}{1 + 0.75 X} dX \] \[ \int_0^{0.75} \frac{1 - X}{1 + 0.75 X} dX = \frac{1}{0.5625} (1.75 \ln 1.5625 - 0.5625) \approx 0.388 \] \[ V = \frac{99.6}{10} \times 0.388 \approx 3.87 \, \text{L} \] 答案：约 3.87 L。

解析

本题考查平推流反应器体积的计算，解题思路是先根据已知条件求出初始进料体积流量，再利用平推流反应器的设计方程，结合给定的动力学方程和转化率，通过积分计算出所需的反应器体积。

  1. 确定初始进料体积流量 $Q_0$
    • 已知进口物流中磷化氢流量 $F_{A0}=10\mathrm{mol/h}$，进口物流包含$\frac{2}{3}$的磷化氢和$\frac{1}{3}$的惰性气体。
    • 根据理想气体状态方程 $pV = nRT$，变形可得 $V=\frac{nRT}{p}$，这里 $n$ 为总物质的量，$R = 0.0821\mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)}$，$T=(649 + 273)\mathrm{K}=922\mathrm{K}$，$p = 11.4\mathrm{atm}$。
    • 总物质的量 $n=\frac{F_{A0}}{\frac{2}{3}}=\frac{10}{\frac{2}{3}} = 15\mathrm{mol/h}$。
    • 则初始进料体积流量 $Q_0=\frac{nRT}{p}=\frac{15\times0.0821\times922}{11.4}\approx99.6\mathrm{L/h}$。
  2. 推导平推流反应器体积计算公式
    • 对于平推流反应器，其设计方程为 $V = F_{A0}\int_{0}^{X_A}\frac{dX_A}{-r_A}$。
    • 已知动力学方程 $(-r_A)=(10\mathrm{h}^{-1})c_A$，根据 $c_A=\frac{F_A}{Q}$，且 $F_A = F_{A0}(1 - X_A)$，$Q = Q_0(1+\delta X_A)$，其中 $\delta$ 为反应前后气体分子数的变化量。
    • 对于反应 $4\mathrm{PH}_3\rightarrow\mathrm{P}_4(\mathrm{g}) + 6\mathrm{H}_2$，$\delta=\frac{(1 + 6)-4}{4}=0.75$。
    • 所以 $c_A=\frac{F_{A0}(1 - X_A)}{Q_0(1 + 0.75X_A)}$，则 $(-r_A)=10\times\frac{F_{A0}(1 - X_A)}{Q_0(1 + 0.75X_A)}$。
    • 将 $(-r_A)$ 代入平推流反应器设计方程可得：
      $\begin{align*}V&=F_{A0}\int_{0}^{X_A}\frac{dX_A}{10\times\frac{F_{A0}(1 - X_A)}{Q_0(1 + 0.75X_A)}}\\&=\frac{Q_0}{10}\int_{0}^{X_A}\frac{1 + 0.75X_A}{1 - X_A}dX_A\end{align*}$
    • 对 $\frac{1 + 0.75X_A}{1 - X_A}$ 进行变形：
      $\begin{align*}\frac{1 + 0.75X_A}{1 - X_A}&=\frac{-(1 - X_A)+1.75}{1 - X_A}\\&=-1+\frac{1.75}{1 - X_A}\end{align*}$
    • 则 $V=\frac{Q_0}{10}\int_{0}^{X_A}(-1+\frac{1.75}{1 - X_A})dX_A=\frac{Q_0}{10}\left[-X_A-1.75\ln(1 - X_A)\right]_0^{X_A}=\frac{Q_0}{10}\left[1.75\ln\frac{1}{1 - X_A}-X_A\right]_0^{X_A}$。
    • 也可通过另一种积分方式计算，$V=\frac{Q_0}{k}\int_{0}^{X_A}\frac{1 - X}{1 + 0.75X}dX$（$k = 10\mathrm{h}^{-1}$）。
  3. 计算积分值
    • 对 $\int_{0}^{0.75}\frac{1 - X}{1 + 0.75X}dX$ 进行计算，先将被积函数变形：
      $\begin{align*}\frac{1 - X}{1 + 0.75X}&=\frac{-\frac{4}{3}(1 + 0.75X)+\frac{7}{3}}{1 + 0.75X}\\&=-\frac{4}{3}+\frac{\frac{7}{3}}{1 + 0.75X}\end{align*}$
    • 则 $\int_{0}^{0.75}\frac{1 - X}{1 + 0.75X}dX=\int_{0}^{0.75}\left(-\frac{4}{3}+\frac{\frac{7}{3}}{1 + 0.75X}\right)dX$
      $\begin{align*}&=\left[-\frac{4}{3}X+\frac{\frac{7}{3}}{0.75}\ln(1 + 0.75X)\right]_0^{0.75}\\&=\frac{1}{0.5625}(1.75\ln1.5625 - 0.5625)\\&\approx0.388\end{align*}$
  4. 计算反应器体积 $V$
    • 已知 $Q_0 = 99.6\mathrm{L/h}$，$k = 10\mathrm{h}^{-1}$，$\int_{0}^{0.75}\frac{1 - X}{1 + 0.75X}dX\approx0.388$。
    • 则 $V=\frac{Q_0}{k}\int_{0}^{0.75}\frac{1 - X}{1 + 0.75X}dX=\frac{99.6}{10}\times0.388\approx3.87\mathrm{L}$。