题目
8-16 在半径为R的圆形区域内,有垂直向里的均匀磁场正以速率 dfrac (dB)(dt) 减少,有一金属棒abc放在图示的-|||-位置,已知 ab=bc=R 求:(1)a、b、c三点处感应电场的大小和方向(在图上标出);(2)棒上感应电动势-|||-为多大?(3)a、c哪点电势高?-|||-x x-|||-x ×0× x-|||-× R-|||-x-|||-a b z-|||-习题 8-16 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算感应电场的大小和方向
根据法拉第电磁感应定律，当磁场随时间变化时，会在导体中产生感应电场。感应电场的大小与磁场变化率成正比，方向与磁场变化方向垂直。对于圆形区域内的均匀磁场，感应电场的大小与距离圆心的距离成正比。因此，a、b、c三点处的感应电场大小分别为：
- a点：${E}_{a}=\dfrac {R}{2}\dfrac {dB}{dt}$
- b点：${E}_{b}=\dfrac {R}{2}\dfrac {dB}{dt}$
- c点：${E}_{c}=\dfrac {R}{2\sqrt {3}}\dfrac {dB}{dt}$
感应电场的方向与磁场变化方向垂直，即沿圆周方向，指向圆心。
步骤 2：计算棒上感应电动势
感应电动势等于感应电场沿导体路径的积分。对于金属棒abc，感应电动势为：
${\varepsilon }_{abc}=\int_{a}^{b}{E}_{a}dl+\int_{b}^{c}{E}_{b}dl+\int_{c}^{a}{E}_{c}dl$
其中，$dl$为路径微元。由于ab=bc=R，感应电动势为：
${\varepsilon }_{abc}=\dfrac {R}{2}\dfrac {dB}{dt}\times R+\dfrac {R}{2}\dfrac {dB}{dt}\times R+\dfrac {R}{2\sqrt {3}}\dfrac {dB}{dt}\times R$
化简得：
${\varepsilon }_{abc}=\dfrac {\sqrt {3}}{4}{R}^{2}\dfrac {dB}{dt}+\dfrac {\pi {R}^{2}}{12}\dfrac {dB}{dt}$
步骤 3：判断a、c哪点电势高
由于感应电场的方向沿圆周方向，指向圆心，因此a点的电势高于c点的电势。
根据法拉第电磁感应定律，当磁场随时间变化时，会在导体中产生感应电场。感应电场的大小与磁场变化率成正比，方向与磁场变化方向垂直。对于圆形区域内的均匀磁场，感应电场的大小与距离圆心的距离成正比。因此，a、b、c三点处的感应电场大小分别为：
- a点：${E}_{a}=\dfrac {R}{2}\dfrac {dB}{dt}$
- b点：${E}_{b}=\dfrac {R}{2}\dfrac {dB}{dt}$
- c点：${E}_{c}=\dfrac {R}{2\sqrt {3}}\dfrac {dB}{dt}$
感应电场的方向与磁场变化方向垂直，即沿圆周方向，指向圆心。
步骤 2：计算棒上感应电动势
感应电动势等于感应电场沿导体路径的积分。对于金属棒abc，感应电动势为：
${\varepsilon }_{abc}=\int_{a}^{b}{E}_{a}dl+\int_{b}^{c}{E}_{b}dl+\int_{c}^{a}{E}_{c}dl$
其中，$dl$为路径微元。由于ab=bc=R，感应电动势为：
${\varepsilon }_{abc}=\dfrac {R}{2}\dfrac {dB}{dt}\times R+\dfrac {R}{2}\dfrac {dB}{dt}\times R+\dfrac {R}{2\sqrt {3}}\dfrac {dB}{dt}\times R$
化简得：
${\varepsilon }_{abc}=\dfrac {\sqrt {3}}{4}{R}^{2}\dfrac {dB}{dt}+\dfrac {\pi {R}^{2}}{12}\dfrac {dB}{dt}$
步骤 3：判断a、c哪点电势高
由于感应电场的方向沿圆周方向，指向圆心，因此a点的电势高于c点的电势。