题目
5.一级连串反应 xrightarrow ({k)_(1)}Pxrightarrow ({k)_(2)}S 在间歇反应器中进行,使目的产物P浓度最大时的反应时-|||-间 _(OP)= () 。-|||-A. dfrac (1)(sqrt {{k)_(1)(k)_(2)}} B. dfrac (ln ({k)_(1)/(k)_(2))}({k)_(2)-(k)_(1)} C. dfrac (ln ({k)_(2)/(k)_(1))}(sqrt {{k)_(1)(k)_(2)}} D. dfrac (ln ({k)_(2)/(k)_(1))}({k)_(2)-(k)_(1)}
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出反应物A、产物P和副产物S的浓度表达式
对于一级连串反应 $A\xrightarrow {{k}_{1}}P\xrightarrow {{k}_{2}}S$，反应物A的浓度随时间变化的表达式为 $[A] = [A]_0 e^{-k_1 t}$，产物P的浓度随时间变化的表达式为 $[P] = [A]_0 \frac{k_1}{k_2 - k_1} (e^{-k_1 t} - e^{-k_2 t})$，副产物S的浓度随时间变化的表达式为 $[S] = [A]_0 \frac{k_1}{k_2 - k_1} (1 - e^{-k_2 t} - \frac{k_2}{k_1} e^{-k_1 t} + \frac{k_2}{k_1} e^{-k_2 t})$。
步骤 2：求解使产物P浓度最大时的反应时间
为了使产物P的浓度最大，需要求解 $[P]$ 对时间 $t$ 的导数，并令其等于0。即求解 $\frac{d[P]}{dt} = 0$。根据 $[P] = [A]_0 \frac{k_1}{k_2 - k_1} (e^{-k_1 t} - e^{-k_2 t})$，可以得到 $\frac{d[P]}{dt} = [A]_0 \frac{k_1}{k_2 - k_1} (-k_1 e^{-k_1 t} + k_2 e^{-k_2 t})$。令 $\frac{d[P]}{dt} = 0$，可以得到 $-k_1 e^{-k_1 t} + k_2 e^{-k_2 t} = 0$。解这个方程，可以得到 $e^{-k_1 t} = \frac{k_2}{k_1} e^{-k_2 t}$。两边取自然对数，可以得到 $-k_1 t = \ln(\frac{k_2}{k_1}) - k_2 t$。解这个方程，可以得到 $t = \frac{\ln(\frac{k_2}{k_1})}{k_2 - k_1}$。
对于一级连串反应 $A\xrightarrow {{k}_{1}}P\xrightarrow {{k}_{2}}S$，反应物A的浓度随时间变化的表达式为 $[A] = [A]_0 e^{-k_1 t}$，产物P的浓度随时间变化的表达式为 $[P] = [A]_0 \frac{k_1}{k_2 - k_1} (e^{-k_1 t} - e^{-k_2 t})$，副产物S的浓度随时间变化的表达式为 $[S] = [A]_0 \frac{k_1}{k_2 - k_1} (1 - e^{-k_2 t} - \frac{k_2}{k_1} e^{-k_1 t} + \frac{k_2}{k_1} e^{-k_2 t})$。
步骤 2：求解使产物P浓度最大时的反应时间
为了使产物P的浓度最大，需要求解 $[P]$ 对时间 $t$ 的导数，并令其等于0。即求解 $\frac{d[P]}{dt} = 0$。根据 $[P] = [A]_0 \frac{k_1}{k_2 - k_1} (e^{-k_1 t} - e^{-k_2 t})$，可以得到 $\frac{d[P]}{dt} = [A]_0 \frac{k_1}{k_2 - k_1} (-k_1 e^{-k_1 t} + k_2 e^{-k_2 t})$。令 $\frac{d[P]}{dt} = 0$，可以得到 $-k_1 e^{-k_1 t} + k_2 e^{-k_2 t} = 0$。解这个方程，可以得到 $e^{-k_1 t} = \frac{k_2}{k_1} e^{-k_2 t}$。两边取自然对数，可以得到 $-k_1 t = \ln(\frac{k_2}{k_1}) - k_2 t$。解这个方程，可以得到 $t = \frac{\ln(\frac{k_2}{k_1})}{k_2 - k_1}$。